Каков синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D в кубе ABCDA1B1C1 длиной ребра 1 ед. изм., если

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические свойства кубов, а также знания о тригонометрии.

Поскольку у нас есть куб ABCDA1B1C1 с длиной ребра 1, мы можем использовать его структуру для определения синуса угла ϕ.

Давайте начнем с построения куба и расположения точки M. Мы знаем, что точка M находится на ребре A1D1 и делит отношение A1M:MD1=3:4. Это означает, что отношение длин отрезков A1M и MD1 равно 3:4.

Теперь рассмотрим плоскость BB1D1D. Поскольку это диагональная плоскость куба, она проходит через диагональ BD1, которая соединяет вершины B и D1.

Диагональ BD1 можно представить как сумму двух векторов: BD и DD1. Поскольку длина ребра куба равна 1, длина вектора BD равна \(\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\). Аналогично, длина вектора DD1 также равна \(\sqrt{3}\).

Теперь мы можем найти синус угла между прямой AM и плоскостью BB1D1D. Для этого нам нужно найти скалярное произведение нормализованных векторов, лежащих на этих линиях.

Нормализация вектора - это процесс преобразования вектора к длине 1, сохраняя его направление. Для нормализации вектора нам нужно разделить его на его длину.

Рассмотрим вектор, лежащий на прямой AM. Он соединяет точку A1 с точкой M. Расстояние между этими точками равно длине ребра куба, то есть 1. Нормализованный вектор на линии AM будет иметь длину 1 и будет указывать в направлении от точки A1 к точке M.

Теперь рассмотрим вектор, лежащий на плоскости BB1D1D. Для нахождения этого вектора мы можем взять вектор BD из куба ABCDA1B1C1.

Нормализованный вектор BD будет иметь длину 1 и будет указывать в направлении от точки B к точке D1.

Теперь мы готовы найти синус угла между этими векторами. Для этого мы используем формулу для скалярного произведения векторов:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}}\),

где \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) - нормализованные векторы на линиях AM и BD соответственно.

Мы хотим найти синус угла ϕ, поэтому можно воспользоваться следующим соотношением:

\(\sin(\phi) = \sqrt{1 - \cos^2(\phi)}\).

На данный момент у нас есть все необходимые данные и формулы для решения этой задачи. Мы можем вычислить синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D, используя полученные значения.

Запишем по формуле для скалярного произведения векторов:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}}\).

Разделим это на отдельные шаги:

Шаг 1: Найдем вектор \(\vec{u}\) и его нормализацию:
\(\vec{u} = \vec{AM} = \vec{M} - \vec{A1}\).
\(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).
\(|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}\).
\(\vec{u}_n = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Шаг 2: Найдем вектор \(\vec{v}\) и его нормализацию:
\(\vec{v} = \vec{BD} = \vec{D1} - \vec{B}\).
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).
\(|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\).
\(\vec{v}_n = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Шаг 3: Вычислим скалярное произведение \(\vec{u} \cdot \vec{v}\):
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right)\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{6} \sqrt{3}} (1)(1) + \frac{1}{\sqrt{6} \sqrt{3}} (-1)(1) + \frac{2}{\sqrt{6} \sqrt{3}} (2)(-1)\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{18}} - \frac{1}{\sqrt{18}} - \frac{4}{\sqrt{18}} = -\frac{4}{\sqrt{18}}\).

Шаг 4: Вычислим \(\cos(\phi)\):
\(\cos(\phi) = \frac{-\frac{4}{\sqrt{18}}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{4}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{18}} = -\frac{4}{3 \sqrt{2}}\).

Шаг 5: Вычислим \(\sin(\phi)\):
\(\sin^2(\phi) = 1 -\cos^2(\phi) = 1 - \left( -\frac{4}{3 \sqrt{2}} \right)^2 = 1 - \frac{16}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\).
\(\sin(\phi) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\).

Таким образом, синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D равен \(\frac{1}{3}\).

Надеюсь, это решение позволяет понять, как найти синус угла ϕ в данной задаче. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!