Каков синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D), если на ребре A1D1 точка M делит отношение

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разобраться с геометрической конфигурацией и использовать соответствующие геометрические свойства.

Дано, что точка M делит отношение A1M:MD1 в соотношении 1:3. Обозначим длину отрезка A1M через x, тогда длина отрезка MD1 будет 3x. Таким образом, длина отрезка AD1 будет равна 4x.

Теперь обратимся к треугольнику A1BD1. Он образован плоскостью (BB1D1D) и прямой AM. Для решения задачи нам нужно найти синус угла ϕ между этой прямой и диагональной плоскостью.

Согласно геометрическим свойствам, синус угла между двумя прямыми можно найти, разделив длину их ортогональной проекции на прямую. В данном случае, нам нужно разделить длину проекции MD1 на прямую AM.

Для этого мы можем использовать теорему Пифагора. В треугольнике AMD1, где AM - гипотенуза, MD1 - один из катетов, а проекция MD1 - другой катет, мы можем найти длину проекции MD1, применив теорему Пифагора.

Исходя из этого, получаем:

$$A{M}^2=MD{1}^2+A1M^2$$
$$A{M}^2=(3x{)}^2+x^2$$
$$A{M}^2=9x^2+x^2$$
$$A{M}^2=10x^2$$
$$AM=\sqrt{10}x$$

Теперь у нас есть значение длины AM. Чтобы найти длину проекции MD1 на AM, мы должны умножить длину MD1 на косинус угла между MD1 и AM. Однако нам нужно найти синус этого угла, поэтому мы можем использовать соотношение между синусом и косинусом: $\sin \varphi =\sqrt{1-{\cos }^2\varphi }$

Таким образом, чтобы найти синус угла ϕ, нам нужно найти косинус этого угла и затем использовать его значение для вычисления синуса.

Возвращаясь к треугольнику AMD1 и используя косинусный закон, мы можем найти косинус угла ϕ:

$$\cos \varphi =\frac{A1M^2+MD{1}^2-A{M}^2}{2\cdot A1M\cdot MD1}$$
$$\cos \varphi =\frac{x^2+(3x{)}^2-(\sqrt{10}x{)}^2}{2\cdot x\cdot 3x}$$
$$\cos \varphi =\frac{x^2+9x^2-10x^2}{6x^2}$$
$$\cos \varphi =\frac{-x^2}{6x^2}=-\frac{1}{6}$$

Теперь мы можем найти синус угла ϕ, используя соотношение $\sin \varphi =\sqrt{1-{\cos }^2\varphi }$:

$$\sin \varphi =\sqrt{1-{(-\frac{1}{6})}^2}$$
$$\sin \varphi =\sqrt{1-\frac{1}{36}}$$
$$\sin \varphi =\sqrt{\frac{35}{36}}$$
$$\sin \varphi =\frac{\sqrt{35}}{6}$$

Таким образом, синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) равен $\frac{\sqrt{35}}{6}$.