Каков синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D), если на ребре A1D1 точка M делит отношение

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разобраться с геометрической конфигурацией и использовать соответствующие геометрические свойства.

Дано, что точка M делит отношение A1M:MD1 в соотношении 1:3. Обозначим длину отрезка A1M через x, тогда длина отрезка MD1 будет 3x. Таким образом, длина отрезка AD1 будет равна 4x.

Теперь обратимся к треугольнику A1BD1. Он образован плоскостью (BB1D1D) и прямой AM. Для решения задачи нам нужно найти синус угла ϕ между этой прямой и диагональной плоскостью.

Согласно геометрическим свойствам, синус угла между двумя прямыми можно найти, разделив длину их ортогональной проекции на прямую. В данном случае, нам нужно разделить длину проекции MD1 на прямую AM.

Для этого мы можем использовать теорему Пифагора. В треугольнике AMD1, где AM - гипотенуза, MD1 - один из катетов, а проекция MD1 - другой катет, мы можем найти длину проекции MD1, применив теорему Пифагора.

Исходя из этого, получаем:

\[AM^2 = MD1^2 + A1M^2\]
\[AM^2 = (3x)^2 + x^2\]
\[AM^2 = 9x^2 + x^2\]
\[AM^2 = 10x^2\]
\[AM = \sqrt{10}x\]

Теперь у нас есть значение длины AM. Чтобы найти длину проекции MD1 на AM, мы должны умножить длину MD1 на косинус угла между MD1 и AM. Однако нам нужно найти синус этого угла, поэтому мы можем использовать соотношение между синусом и косинусом: \(\sin{\phi} = \sqrt{1 - \cos^2{\phi}}\)

Таким образом, чтобы найти синус угла ϕ, нам нужно найти косинус этого угла и затем использовать его значение для вычисления синуса.

Возвращаясь к треугольнику AMD1 и используя косинусный закон, мы можем найти косинус угла ϕ:

\[\cos{\phi} = \frac{A1M^2 + MD1^2 - AM^2}{2 \cdot A1M \cdot MD1}\]
\[\cos{\phi} = \frac{x^2 + (3x)^2 - ( \sqrt{10}x )^2}{2 \cdot x \cdot 3x}\]
\[\cos{\phi} = \frac{x^2 + 9x^2 - 10x^2}{6x^2}\]
\[\cos{\phi} = \frac{ -x^2}{6x^2} = -\frac{1}{6}\]

Теперь мы можем найти синус угла ϕ, используя соотношение \(\sin{\phi} = \sqrt{1 - \cos^2{\phi}}\):

\[\sin{\phi} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{6}\right)^2}\]
\[\sin{\phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}}\]
\[\sin{\phi} = \sqrt{\frac{35}{36}}\]
\[\sin{\phi} = \frac{\sqrt{35}}{6}\]

Таким образом, синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) равен \(\frac{\sqrt{35}}{6}\).