Каков шанс выбрать 3 синие ручки из 12 ручек, включая 5 синих, если выбираются ручки наугад?

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу.

У нас есть 12 ручек, среди которых 5 синих. Мы хотим выбрать 3 ручки из этого набора наугад. Нам нужно вычислить вероятность выбора 3 синих ручек.

Для начала посчитаем общее количество способов выбрать 3 ручки из 12. Это можно сделать с помощью комбинаторики. Воспользуемся формулой сочетаний:

\[
C(n, r) = \frac{{n!}}{{r! \cdot (n-r)!}}
\]

где n - общее количество объектов, r - количество объектов, которое мы хотим выбрать, и n! обозначает факториал числа n.

В нашем случае, n = 12 и r = 3, поэтому формула примет вид:

\[
C(12, 3) = \frac{{12!}}{{3! \cdot (12-3)!}}
\]

Вычислим это значение:

\[
C(12, 3) = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}}{{3! \cdot 9!}}
\]

Заметим, что факториалы \(9!\) сократятся, и останется:

\[
C(12, 3) = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 220
\]

Таким образом, всего существует 220 способов выбрать 3 ручки из 12.

Теперь посчитаем количество способов выбрать 3 синих ручки из 5. Это также можно сделать с помощью формулы комбинаторики:

\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 2 \cdot 1}} = 10
\]

Таким образом, всего существует 10 способов выбрать 3 синих ручки из 5.

Теперь мы можем вычислить вероятность выбора 3 синих ручек. Вероятность вычисляется как отношение числа способов, благоприятствующих нашему событию, к общему числу возможных исходов.

В нашем случае, вероятность будет равна:

\[
P = \frac{{\text{{число способов выбрать 3 синих ручки}}}}{{\text{{общее число способов выбрать 3 ручки}}}} = \frac{{10}}{{220}} = 0.045
\]

Или, в процентном выражении, вероятность выбрать 3 синих ручки составляет 4.5%.

Надеюсь, ответ был достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникли ещё вопросы, обращайтесь!