Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику

Question

Математика: Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику 2 le x le 4 и 1 le y le 2? a. 36 b. 28

Летучая_Мышь · Accepted Answer

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить двойной интеграл

\int \int x^{2} y d x d y

по заданной области интегрирования.

Для начала, посмотрим на границы интегрирования. У нас есть прямоугольник со сторонами

2 \leq x \leq 4

и

1 \leq y \leq 2

. Таким образом, мы будем интегрировать по переменной

x

с границами от 2 до 4, а затем по переменной

y

с границами от 1 до 2.

Поэтапно решим данный интеграл:

Шаг 1: Интегрируем по переменной x

\int \int x^{2} y d x d y = \int_{1}^{2} \int_{2}^{4} x^{2} y d x d y

Шаг 2: Вычисляем интеграл по переменной x

\int_{2}^{4} x^{2} y d x = y \int_{2}^{4} x^{2} d x

Шаг 3: Интегрируем по переменной x

y \int_{2}^{4} x^{2} d x = y {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{2}^{4}

= y (\frac{1}{3} (4)^{3} - \frac{1}{3} (2)^{3})

= y (\frac{1}{3} 64 - \frac{1}{3} 8)

= y (\frac{64 - 8}{3})

Extra \left or missing \right

\)

Шаг 4: Интегрируем по переменной y

\int_{1}^{2} y (\frac{56}{3}) d y = {[\frac{56}{3} y]}_{1}^{2}

= \frac{56}{3} (2) - \frac{56}{3} (1)

= \frac{112}{3} - \frac{56}{3}

= \frac{56}{3}

Таким образом, результат двойного интеграла

\int \int x^{2} y d x d y

по заданной области равен

\frac{56}{3}

. Итак, правильный ответ - b. 28.

Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику 2 le x le 4 и 1 le y le 2? a. 36 b