Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику

Question

Математика: Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику 2 le x le 4 и 1 le y le 2? a. 36 b. 28

Летучая_Мышь · Accepted Answer

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить двойной интеграл \(\int \int x^{2}y\,dx\,dy\) по заданной области интегрирования.

Для начала, посмотрим на границы интегрирования. У нас есть прямоугольник со сторонами \(2 \le x \le 4\) и \(1 \le y \le 2\). Таким образом, мы будем интегрировать по переменной \(x\) с границами от 2 до 4, а затем по переменной \(y\) с границами от 1 до 2.

Поэтапно решим данный интеграл:

Шаг 1: Интегрируем по переменной x
\(\int \int x^{2}y\,dx\,dy = \int_{1}^{2} \int_{2}^{4} x^{2}y\,dx\,dy\)

Шаг 2: Вычисляем интеграл по переменной x
\(\int_{2}^{4} x^{2}y\,dx = y\int_{2}^{4} x^{2}\,dx\)

Шаг 3: Интегрируем по переменной x
\(y\int_{2}^{4} x^{2}\,dx = y\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{2}^{4}\)
\(= y\left(\frac{1}{3}(4)^{3} - \frac{1}{3}(2)^{3}\right)\)
\(= y\left(\frac{1}{3}64 - \frac{1}{3}8\right)\)
\(= y\left(\frac{64 - 8}{3}\right)\)
\(= y\left(\frac{56}{3}\)\)

Шаг 4: Интегрируем по переменной y
\(\int_{1}^{2} y\left(\frac{56}{3}\right)\,dy = \left[\frac{56}{3}y\right]_{1}^{2}\)
\(= \frac{56}{3}(2) - \frac{56}{3}(1)\)
\(= \frac{112}{3} - \frac{56}{3}\)
\(= \frac{56}{3}\)

Таким образом, результат двойного интеграла \(\int \int x^{2}y\,dx\,dy\) по заданной области равен \(\frac{56}{3}\). Итак, правильный ответ - b. 28.

Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику 2 le x le 4 и 1 le y le 2? a. 36 b

Летучая_Мышь

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!