Каков радиус вписанной окружности в трапецию, у которой нижнее основание в два раза больше верхнего и боковая сторона

Для решения этой задачи нам потребуются знания о свойствах вписанной окружности и основных формулах для трапеции.

Пусть верхнее основание трапеции равно \(a\), а нижнее основание равно \(2a\). Боковая сторона трапеции обозначим как \(c\).

Первым шагом найдем высоту трапеции. Заметим, что высота трапеции проходит через центр вписанной окружности. Поскольку трапеция является четырехугольником, две стороны которого параллельны, то высота является средней линией трапеции. Зная длину оснований трапеции, можем найти длину высоты. Пусть \(h\) - высота трапеции.

Согласно свойству вписанной окружности, отрезки, проведенные от центра окружности до точек касания окружности с сторонами трапеции, являются радиусами вписанной окружности. Обозначим радиус вписанной окружности как \(r\).

По теореме Пифагора имеем следующее соотношение для треугольника, образованного боковой стороной трапеции, радиусом вписанной окружности и высотой трапеции:

\[c^2 = h^2 + (2r)^2\]

Также, по свойству вписанной окружности, радиус вписанной окружности является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к стороне трапеции. Поэтому наибольшая сторона трапеции является диаметром вписанной окружности. Таким образом, \((2r) = c\).

Подставим это соотношение в первое уравнение:

\[c^2 = h^2 + c^2\]

Упрощаем уравнение:

\[h^2 = 0\]

Теперь можно увидеть, что значение высоты равно нулю. Это означает, что трапеция вырождается в прямоугольник, а радиус вписанной окружности равен половине ширины трапеции.

Таким образом, радиус вписанной окружности для данной трапеции равен \(r = \frac{c}{2} = \frac{a+b}{2}\), где \(a\) и \(b\) - верхнее и нижнее основания трапеции соответственно.