Каков радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник ABC, где высота BD равна 30 см, а отношение базы

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства равнобедренного треугольника, а также свойства окружностей, вписанных в треугольники.

Определение равнобедренного треугольника: Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. В нашем случае, стороны AB и AC равны.

Свойства вписанной окружности в равнобедренный треугольник: Вписанная окружность в равнобедренный треугольник касается каждой из равных сторон в одной точке и проходит через вершину этого треугольника.

Последовательность решения задачи:
1. Задача предполагает, что треугольник ABC равнобедренный. Поэтому стороны AB и AC равны между собой.
2. По условию задачи, высота BD равна 30 см. Она перпендикулярна к основанию треугольника и проходит через вершину треугольника. Следовательно, BD является высотой, опущенной из вершины A на сторону BC.
3. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD также является медианой и биссектрисой этого треугольника.
4. Так как AB и AC равны, то медиана BD также делит сторону AC на две равные части.
5. По условию, отношение базы AC к боковой стороне AB составляет 6:4,5, что равно 4:3. Это означает, что AC равняется 4x, а AB равняется 3x, где x - коэффициент пропорциональности.
6. Поскольку медиана BD делит сторону AC на две равные части, то одна из этих частей составляет половину стороны AC, то есть 2x.
7. Мы знаем, что BD является медианой, поэтому она делит сторону AC на две части в отношении 2:1. Следовательно, BD равно 2x, что в данном случае равно 30 см.
8. Теперь мы можем найти значение x: 2x = 30, откуда x = 30/2 = 15.
9. Таким образом, мы нашли значение x, которое равно 15.
10. Чтобы найти радиус вписанной окружности, воспользуемся формулой для медианы треугольника, связанной с радиусом вписанной окружности: \(r = \frac{S}{p}\), где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.
11. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то его площадь можно найти по формуле: \(S = \frac{AB \times BD}{2}\).
12. В нашем случае, AB равно 3x (так как AB = 3x и AC = 4x) и BD равно 2x. Заменяя значения, получаем: \(S = \frac{3x \times 2x}{2} = \frac{6x^2}{2} = 3x^2\).
13. Чтобы найти полупериметр треугольника, воспользуемся формулой: \(p = \frac{AB + AC + BC}{2}\).
14. В нашем случае, AB равно 3x, AC равно 4x, а BC равно 4x - 3x (так как BC = AC - AB). Заменяя значения, получаем: \(p = \frac{3x + 4x + (4x - 3x)}{2} = \frac{12x}{2} = 6x\).
15. Теперь у нас есть значение площади S и полупериметра p. Мы можем найти радиус вписанной окружности r, используя формулу: \(r = \frac{S}{p}\).
16. Подставляя значения, получаем: \(r = \frac{3x^2}{6x} = \frac{1}{2}x\).
17. Подставляя значение x, полученное на шаге 8, мы можем найти значение радиуса r: \(r = \frac{1}{2} \times 15 = 7,5\) см.

Таким образом, радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник ABC равен 7,5 см.