Каков радиус сплошного диска, массой 0,2 кг, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для момента инерции \(I\) сплошного диска, которая имеет вид:

\[I = \frac{1}{2}mr^2\]

где \(m\) - масса диска, \(r\) - радиус диска.

Также, нам дано выражение для угловой скорости \(w\):

\[w = 5 - t + 2t^2\]

Мы можем использовать это выражение для определения углового ускорения \(a\) диска:

\[a = \frac{dw}{dt}\]

Теперь мы можем использовать формулу Ньютона для момента силы \(N\) и углового ускорения \(a\):

\[N = I \cdot a\]

В нашем случае момент силы \(N\) равен 0,8 * 10^2 нм. Мы также знаем, что момент инерции \(I = \frac{1}{2}mr^2\) и угловое ускорение \(a = \frac{dw}{dt}\).

Теперь мы можем подставить значения в формулу и решить получившееся уравнение относительно радиуса \(r\):

\[0,8 \cdot 10^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot r^2 \cdot \frac{d(5 - t + 2t^2)}{dt}\]

Чтобы продолжить решение, нам нужно взять производную выражения \(5 - t + 2t^2\) по \(t\). Производная от константы равна нулю, поэтому мы имеем:

\[\frac{d(5 - t + 2t^2)}{dt} = 0 - 1 + 4t = 4t - 1\]

Теперь мы можем продолжить решение, подставив это значение обратно в уравнение:

\[0,8 \cdot 10^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot r^2 \cdot (4t - 1)\]

Теперь мы можем решить получившееся уравнение относительно радиуса \(r\):

\[80 = 0,02r^2 \cdot (4t - 1)\]

Разделим обе части уравнения на \(0,02 \cdot (4t - 1)\):

\[4000 = r^2\]

Возведем обе части уравнения в квадратный корень:

\[r = \sqrt{4000}\]

После подсчета мы получаем:

\[r \approx 63,25\,мм\]

Итак, радиус сплошного диска, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс, составляет около 63,25 миллиметров.