Каков радиус шара, вписанного в данную треугольную пирамиду, если известно

Question

Геометрия: Каков радиус шара, вписанного в данную треугольную пирамиду, если известно, что апофема равна b и двугранный угол пирамиды при ребре основания равен

Магнитный_Магистр · Accepted Answer

Для нахождения радиуса шара, вписанного в треугольную пирамиду, нам понадобятся два параметра: апофема пирамиды и двугранный угол при ребре основания.

Апофема пирамиды (обозначим ее как

f

) - это расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания. Значение апофемы задано в условии задачи и равно

b

.

Двугранный угол (обозначим его как

α

) - это угол между полюсом шара и одним из треугольников, составляющих боковую поверхность пирамиды.

Теперь рассмотрим поперечное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и основание (то есть через апофему пирамиды). Получится равнобедренный треугольник, вписанный в окружность с радиусом

r

- радиусом шара.

В этом треугольнике мы можем найти второй угол

β

, равный половине двугранного угла пирамиды, и стороны треугольника: полусумму основания

a

и апофемы

b

(полуоснование

c

), а также высоту треугольника

h

.

Используя связь между радиусом шара

r

, сторонами треугольника и его высотой, мы можем составить следующие уравнения:

r = \frac{a^{'} \cdot h}{2 \cdot c}

r = \sqrt{h^{2} + b^{2}}

Решив эту систему уравнений относительно

r

, мы найдем радиус шара, вписанного в данную треугольную пирамиду.

Каков радиус шара, вписанного в данную треугольную пирамиду, если известно, что апофема равна b и двугранный угол

Магнитный_Магистр

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!