Каков радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида со стороной основы 6 см и углом 30° между боковым

Чтобы найти радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, необходимо использовать свойство вписанного тела, которое гласит, что радиус шара, проведенный к основанию пирамиды, является перпендикуляром к основанию пирамиды и делит боковое ребро на две равные части.

Итак, у нас есть правильная треугольная пирамида со стороной основы 6 см и углом 30° между боковым ребром и плоскостью основы. Для нахождения радиуса шара, обращаемся к свойству вписанного тела.

Шаг 1: Найдем высоту треугольной пирамиды (h).
Так как мы имеем правильную треугольную пирамиду, то боковая высота является медианой и биссектрисой треугольника основания. Медиана и биссектриса в правильном треугольнике совпадают. Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника.
Получаем равносторонний треугольник со стороной 6 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, его гипотенуза - это боковое ребро пирамиды.
В треугольнике с углом 30° нам известны катет (половина стороны основания) и угол. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты треугольника.

\[h = \frac{{\text{{катет}}}}{{\tan(\text{{угол}})}} = \frac{{3}}{{\tan(30°)}} \approx 5.2 \, \text{{см}}.\]

Шаг 2: Найдем половину бокового ребра (l).
Если мы нарисуем медиану в правильном треугольнике, она будет делить боковое ребро (l) пополам. То есть \(\frac{{l}}{{2}} = h\), откуда \(l = 2h\).

\[l = 2 \times 5.2 = 10.4 \, \text{{см}}.\]

Шаг 3: Наконец, найдем радиус (r) шара.
Так как радиус проведен к основанию пирамиды и является перпендикуляром к ней, то у нас получается прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - это радиус шара.
\[r^2 = l^2 + h^2 = 10.4^2 + 5.2^2 \approx 136.16.\]
\[r = \sqrt{136.16} \approx 11.67 \, \text{{см}}.\]

Таким образом, радиус шара, в который вписана данная правильная треугольная пирамида, примерно равен 11.67 см.