Каков радиус шара, если угол между образующей конуса и его высотой составляет 45°, а расстояние от вершины конуса

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть конус, в который вписан шар. Угол между образующей конуса и его высотой равен 45°, а расстояние от вершины конуса до центра вписанного шара нам неизвестно. Нам нужно найти радиус шара.

По определению, вписанный шар в конус касается его боковой поверхности. Таким образом, мы можем представить конус и вписанный в него шар в виде двух пересекающихся фигур:

1) Конус: у которого есть вершина \(V\), основание \(B\) и образующая \(l\).
2) Вписанный шар: у которого есть центр \(O\) и радиус \(r\).

Поскольку шар касается боковой поверхности конуса, он также касается образующей конуса в точке \(T\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник \(VTO\) - у нас есть прямоугольный треугольник, в котором нам известен угол \(\angle VTO\), который равен 45°, и известны две стороны: радиус шара \(r\) и гипотенуза треугольника - образующая конуса \(l\).

Мы можем использовать тригонометрическую функцию синус, чтобы найти противолежащую сторону (расстояние от точки \(T\) до точки \(O\)) в треугольнике \(VTO\):

\[
\sin(\angle VTO) = \frac{{\text{{против}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Подставим значения:

\[
\sin(45^\circ) = \frac{{r}}{{l}}
\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(r\). Для этого умножим обе стороны на \(l\):

\[
l \cdot \sin(45^\circ) = r
\]

Радиус шара равен произведению образующей конуса на синус 45°.

Таким образом, радиус шара равен \(l \cdot \sin(45^\circ)\). Это будет окончательным ответом на задачу.