Каков радиус шара, если два взаимно перпендикулярных сечения имеют общую хорду длиной 12? Площади этих сечений равны

200 π.

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о геометрии сечений шара.

Для начала, давайте разберемся с тем, что такое взаимно перпендикулярные сечения и общая хорда. Взаимно перпендикулярные сечения - это сечения, которые пересекаются под прямым углом. Общая хорда - это отрезок, который одновременно принадлежит обоим сечениям.

Мы знаем, что длина общей хорды равна 12, а площади сечений равны 100 π и 200 π соответственно.

Площадь сечения шара можно выразить через радиус шара и угол, образованный этим сечением. Так как у нас два сечения, будем обозначать углы, образованные этими сечениями, как \(\alpha\) и \(\beta\).

Площадь сечения шара можно выразить следующей формулой:

\[S = 2 \pi r^2 (1 - \cos(\theta))\]

где \(S\) - площадь сечения, \(r\) - радиус шара и \(\theta\) - угол, образованный сечением.

Нам известны площади секций: \(100 \pi\) и \(200 \pi\). Давайте найдем углы \(\alpha\) и \(\beta\), соответствующие этим площадям.

Для первого сечения с площадью \(100 \pi\):

\[100 \pi = 2 \pi r^2 (1 - \cos(\alpha))\]

Делим обе части на \(2 \pi\):

\[50 = r^2 (1 - \cos(\alpha))\]

Для второго сечения с площадью \(200 \pi\):

\[200 \pi = 2 \pi r^2 (1 - \cos(\beta))\]

Делим обе части на \(2 \pi\):

\[100 = r^2 (1 - \cos(\beta))\]

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[\begin{cases} 50 = r^2 (1 - \cos(\alpha)) \\ 100 = r^2 (1 - \cos(\beta)) \end{cases}\]

Теперь давайте решим систему уравнений для нахождения значений углов \(\alpha\) и \(\beta\).

Первое уравнение можно переписать как:

\[1 - \cos(\alpha) = \frac{50}{r^2}\]

Так как у нас симметричная система, верно и для второго уравнения:

\[1 - \cos(\beta) = \frac{100}{r^2}\]

Теперь найдем значения \(\cos(\alpha)\) и \(\cos(\beta)\):

\[\cos(\alpha) = 1 - \frac{50}{r^2}\]
\[\cos(\beta) = 1 - \frac{100}{r^2}\]

Используя обратную функцию косинуса (арккосинус), найдем значения углов:

\[\alpha = \arccos\left(1 - \frac{50}{r^2}\right)\]
\[\beta = \arccos\left(1 - \frac{100}{r^2}\right)\]

Теперь, имея значения углов, мы можем решить задачу. Since the chord is the same in both sections, it passes through the center of the sphere. This means that the angle between the chord and the radius is a right angle.

Мы можем использовать свойство перпендикулярности для определения значения радиуса. Мы знаем, что косинус прямого угла равен нулю, поэтому:

\[\cos(\alpha) = \cos(90^\circ) = 0\]
\[\cos(\beta) = \cos(90^\circ) = 0\]

Подставим значения углов в формулу для площади сечения:

\[100 \pi = 2 \pi r^2 (1 - 0)\]
\[200 \pi = 2 \pi r^2 (1 - 0)\]

Делим оба уравнения на \(2 \pi\) и упрощаем:

\[50 = r^2\]
\[100 = r^2\]

Теперь мы можем решить каждое уравнение относительно радиуса:

\[r^2 = 50\]
\[r^2 = 100\]

Возведем оба уравнения в квадратный корень:

\[r = \sqrt{50}\]
\[r = \sqrt{100}\]

Так как радиус не может быть отрицательным, получаем:

\[r = \sqrt{50}\]
\[r = 10\]

Ответ: радиус шара равен 10.

Таким образом, мы использовали геометрические свойства сечений шара и систему уравнений, чтобы определить значение радиуса. Надеюсь, это решение понятно для школьника! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.