Каков радиус сферы, которая касается плоскости равностороннего треугольника с радиусом 4 см вписанной окружности

Данная задача связана с геометрией и требует решения пошагово.

Шаг 1: Рисуем схему
Давайте начнем с построения схемы, чтобы визуализировать данную задачу. Нарисуем равносторонний треугольник ABC и его вписанную окружность, обозначим центр окружности как точку O. Также обозначим центр сферы как точку P и радиус сферы как r.

Шаг 2: Находим расстояние от центра сферы до стороны треугольника
У нас дано, что расстояние от центра сферы до стороны треугольника равно 5 см. Обозначим эту длину как h.

Шаг 3: Связь радиуса сферы с расстоянием h
Мы знаем, что расстояние от центра сферы до стороны треугольника является высотой равностороннего треугольника, которая равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) раза длине стороны треугольника. Поэтому, h = \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times a\), где a - длина стороны треугольника.

Шаг 4: Находим длину стороны треугольника
Дано, что окружность вписана в треугольник. Значит, радиус окружности равен \(\frac{1}{3}\) длины стороны треугольника. Из условия задачи радиус окружности равен 4 см. Тогда, \(4 = \frac{a}{3}\). Решаем это уравнение относительно a: \(a = 3 \times 4 = 12\) см.

Шаг 5: Находим высоту треугольника
Мы знаем, что высота равностороннего треугольника равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) раза длине стороны треугольника. То есть, \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\) см.

Шаг 6: Находим радиус сферы
Теперь мы можем найти радиус сферы, используя теорему Пифагора. Радиус сферы - это гипотенуза прямоугольного треугольника, а h и радиус окружности - его катеты. Получаем следующее уравнение: \(r^2 = (\frac{1}{3}a)^2 + h^2\) Решаем его: \(r^2 = (\frac{1}{3} \times 12)^2 + (6\sqrt{3})^2\).

Вычисляем:

\[r^2 = (\frac{4}{3})^2 + 36 \times 3\]
\[r^2 = \frac{16}{9} + 108\]
\[r^2 = \frac{16}{9} + \frac{972}{9}\]
\[r^2 = \frac{988}{9}\]

Упрощаем:

\[r^2 = \frac{988}{9}\]
\[r = \sqrt{\frac{988}{9}}\]
\[r = \frac{\sqrt{988}}{3}\]
\[r = \frac{\sqrt{4 \times 247}}{3}\]
\[r = \frac{2\sqrt{247}}{3}\]

Ответ: Радиус сферы равен \(\frac{2\sqrt{247}}{3}\) см.