Каков радиус планеты, если наблюдатель находится на макушке принца, а расстояние от него до горизонта равняется L=6+3√3

Для решения первой части задачи, нам понадобится использовать геометрические свойства планеты. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и связать радиус планеты с расстоянием до горизонта.

Обозначим радиус планеты как \(R\). По условию задачи, расстояние от наблюдателя до горизонта равно \(L=6+3\sqrt{3}\) метров.

Используя теорему Пифагора для треугольника, образованного горизонтом, радиусом планеты и прямой, соединяющей горизонт и место наблюдателя, получаем следующее уравнение:

\[R^2 = (R+L)^2 - L^2\]

Развернем эту формулу и решим ее для \(R\). Выполним расчеты:

\[(R+L)^2 - L^2 = R^2\]

\[R^2 + 2RL + L^2 - L^2 = R^2\]

\[2RL = 0\]

Здесь мы видим, что члены \(R^2\) противоположны и сокращаются, и у нас остается уравнение, содержащее только значения \(R\) и \(L\):

\[2RL = 0\]

Так как \(R\) не может быть равным нулю, то в данной задаче у нас есть только одно допустимое решение:

\[L = -2R\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(R\):

\[6 + 3\sqrt{3} = -2R\]

\[R = -\frac{6 + 3\sqrt{3}}{2}\]

У нас есть отрицательное значение для \(R\), что не имеет физического смысла, поэтому мы отбросим это решение.

Таким образом, радиус планеты \(R\) нам неизвестен, и мы не можем предоставить округленный ответ на этот вопрос.

Перейдем ко второй части задачи. Нам нужно вычислить угол поворота планеты между закатом и восходом Солнца.

Мы можем использовать формулу \(w = 2\pi \cdot t\), где \(w\) - угловая скорость планеты (в радианах в единицу времени), \(t\) - время (в часах).

Угловая скорость \(w\) дана в градусах в часе, так что для перевода в радианы воспользуемся следующим соотношением: \(1\) радиан \(=\frac{180}{\pi}\) градусов.

Таким образом, угловая скорость \(w\) в радианах в единицу времени будет равна:

\[w = \frac{30 \cdot \pi}{180}\]

Теперь мы можем вычислить угол поворота планеты между закатом и восходом Солнца.

За один полный оборот планеты (360 градусов) проходится угол \(2\pi\) радиан. Следовательно, за время равное 24 часам (одних суток) происходит полный оборот планеты.

Для нахождения угла поворота планеты между закатом и восходом Солнца (положение заката и восхода сравнивается с одним полным оборотом) воспользуемся пропорцией:

\[w = \frac{\text{угол поворота планеты}}{\text{24 часа}}\]

Подставим известные значения и решим уравнение относительно угла поворота планеты:

\[\frac{30 \cdot \pi}{180} = \frac{\text{угол поворота планеты}}{24}\]

Выполним расчеты:

\[\text{угол поворота планеты} = \frac{30 \cdot \pi \cdot 24}{180}\]

\[\text{угол поворота планеты} \approx 12.57\]

Таким образом, угол поворота планеты между закатом и восходом Солнца составляет приблизительно 12.57 градусов.