Каков радиус основания цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 72 π, а диагональ прямоугольника

Чтобы найти радиус основания цилиндра, мы должны использовать информацию о боковой поверхности цилиндра и угле, в котором диагональ прямоугольника образует разворот.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π. Формула для нахождения площади боковой поверхности цилиндра: \(A_{бок} = 2πrh\), где \(r\) - радиус основания, а \(h\) - высота цилиндра.

Предположим, что высота цилиндра равна \(h\), а его радиус основания равен \(r\). Тогда формула для площади боковой поверхности цилиндра может быть переписана как: \(72π = 2πrh\).

Уберем π из обеих частей уравнения: \(72 = 2rh\).

Теперь у нас есть уравнение, связывающее радиус основания и высоту цилиндра: \(72 = 2rh\).

Дано, что диагональ прямоугольника в развертке цилиндра образует угол 45 градусов.

Заметим, что развертка цилиндра - это прямоугольник, у которого диагональ - это окружность, а сторона прямоугольника - это окружность. Таким образом, угол 45 градусов, образуемый диагональю прямоугольника, равен половине угла 90 градусов или прямого угла.

То есть, мы можем сказать, что угол, образуемый этой диагональю в самом цилиндре, также равен 45 градусов.

Теперь у нас есть треугольник с углом 45 градусов и двумя сторонами: радиусом основания цилиндра \(r\) и высотой цилиндра \(h\).

Мы можем использовать тригонометрические соотношения для решения этой задачи. В данном случае, тангенс угла 45 градусов равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету (тангенс 45 градусов равен 1).

Тангенс 45 градусов: \(tan(45) = \frac{r}{h}\)

Поскольку тангенс 45 градусов равен 1, мы можем записать: \(1 = \frac{r}{h}\)

Таким образом, \(r = h\)

Теперь мы можем вернуться к уравнению, связывающему радиус основания и высоту цилиндра: \(72 = 2rh\)

Подставим \(r = h\): \(72 = 2h^2\)

Разделим обе части уравнения на 2: \(36 = h^2\)

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(h = 6\)

Таким образом, высота цилиндра равна 6. Поскольку радиус основания равен высоте, радиус основания цилиндра также равен 6.