Каков радиус основания цилиндра, если его образующая равна 3, а диагональ осевого сечения наклонена к плоскости

Чтобы найти радиус основания цилиндра, у нас есть три величины: образующая (длина цилиндра), диагональ осевого сечения (прямая линия, соединяющая две противоположные точки на плоскости основания) и угол наклона диагонали к плоскости основания.

Для начала воспользуемся основными свойствами цилиндра. Заметим, что основание цилиндра является окружностью. Пусть \(r\) будет радиусом этой окружности.

Теперь посмотрим на осевое сечение. Поскольку диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 45°, мы можем рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник, с одним изменившимся углом между диагональю и основанием. Давайте обозначим этот угол как \(\theta\).

Мы знаем, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике угол между гипотенузой и любым боковым ребром равен 45°. Поскольку диагональ является гипотенузой, угол между диагональю и одной из сторон основания также будет 45°.

Теперь мы можем найти сторону треугольника, которая соответствует этому углу 45°. Обозначим эту сторону как \(x\).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 3 и катетами \(x\) мы можем написать следующее уравнение:

\[x^2 + x^2 = 3^2\]

Это уравнение можно упростить:

\[2x^2 = 9\]

\[x^2 = \frac{9}{2}\]

\[x = \sqrt{\frac{9}{2}}\]

Теперь, имея длину одной стороны осевого сечения, мы можем найти радиус основания цилиндра. Поскольку радиус является половиной длины стороны окружности, мы можем записать:

\[r = \frac{\sqrt{\frac{9}{2}}}{2}\]

\[r = \frac{\sqrt{9}}{2\sqrt{2}}\]

\[r = \frac{3}{2\sqrt{2}}\]

Вот и ответ - радиус основания цилиндра равен \(\frac{3}{2\sqrt{2}}\).