Каков радиус орбиты космического корабля массой 50 миллионов килограмм, движущегося по круговой орбите вокруг Земли

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии, который связывает кинетическую и потенциальную энергию объекта.

На круговой орбите космического корабля, потенциальная энергия вычисляется как разность потенциальных энергий на бесконечности и на данной орбите. Формула для потенциальной энергии:

\[U = -G \cdot \frac{{M \cdot m}}{{r}}\]

где U - потенциальная энергия; G - гравитационная постоянная, примерное значение которой равно \(6,674 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\); M - масса Земли, приближенное значение которой равно \(5,972 \times 10^{24}\, \text{кг}\); m - масса космического корабля, данное значение равно \(50 \times 10^{6}\, \text{кг}\); r - радиус орбиты, который нас интересует.

Кинетическая энергия представляет собой разность между начальной и конечной кинетической энергией.

\[K = K_{\text{конечная}} - K_{\text{начальная}}\]

Так как корабль находится на круговой орбите и движется с постоянной скоростью, начальная кинетическая энергия равна нулю. То есть \(K_{\text{начальная}} = 0\). Кинетическая энергия вычисляется по формуле:

\[K = \frac{1}{2} m v^2\]

где K - кинетическая энергия; m - масса космического корабля; v - скорость космического корабля.

Для круговой орбиты, скорость космического корабля можно найти по формуле:

\[v = \sqrt{\frac{G M}{r}}\]

Перейдем к решению:

Так как начальная кинетическая энергия равна нулю, мы можем записать:

\[K = K_{\text{конечная}}\]
\[\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{G M}{r}}\right)^2\]
\[\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{G M}{r}\right)\]
\[v^2 = \frac{G M}{r}\]
\[v = \sqrt{\frac{G M}{r}}\]

Подставим известные значения:

\[50 \times 10^{6} = \sqrt{\frac{{6,674 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}}{{r}}}\]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(50 \times 10^{6})^2 = \frac{{6,674 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}}{{r}}\]

\[(50 \times 10^{6})^2 \times r = 6,674 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}\]

\[r = \frac{{6,674 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}}{{(50 \times 10^{6})^2}}\]

Подсчитаем это значение:

\[r \approx 8,98 \times 10^6\, \text{м}\]

Таким образом, радиус орбиты космического корабля составляет приблизительно 8,98 миллионов метров.