Каков радиус окружности, вписанной в трапецию с высотой равной

Для начала разберемся с определением вписанной окружности и свойствами трапеции. Вписанная окружность в трапецию – это окружность, которая касается всех сторон трапеции.

У трапеции есть несколько свойств, которые мы можем использовать при решении задачи. Одно из этих свойств гласит, что сумма длин двух противоположных сторон трапеции равна сумме длин двух других сторон. Другое свойство указывает, что линия, соединяющая середины оснований трапеции, параллельна боковым сторонам и ее длина равна половине разности длин оснований.

Обозначим радиус вписанной окружности как \(r\). Так как окружность касается всех четырех сторон трапеции, то отрезки, проведенные от вершин трапеции до точек касания окружности, будут радиусами окружности. Обозначим эти отрезки как \(r_1, r_2, r_3, r_4\).

Используя свойства трапеции, мы можем записать систему уравнений:

\[
r_1 + r_2 = a
\]
\[
r_3 + r_4 = b
\]
\[
r_1 + r_4 = c
\]
\[
r_2 + r_3 = d
\]

где \(a\) и \(b\) – длины оснований трапеции, а \(c\) и \(d\) – длины боковых сторон.

Также мы знаем, что линия, соединяющая середины оснований трапеции, равна половине разности длин оснований. Обозначим длину этой линии как \(x\), тогда можем записать уравнение:

\[
x = \frac{a - b}{2}
\]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной трапеции, радиусом окружности и линией, соединяющей середины оснований. Этот треугольник является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла основания делит его боковую сторону на отрезки, пропорциональные длинам оснований треугольника.

Применяя это свойство к нашему треугольнику, мы можем записать:

\[
\frac{x}{r_4} = \frac{a}{r}
\]

или

\[
r_4 = \frac{x \cdot r}{a}
\]

Также можем рассмотреть треугольник, образованный радиусом окружности, высотой трапеции и серединной линией боковых сторон. Этот треугольник также является равнобедренным.

Применяя аналогичные рассуждения, мы получаем:

\[
\frac{h}{r_1} = \frac{c}{r}
\]

или

\[
r_1 = \frac{h \cdot r}{c}
\]

Теперь мы можем записать радиус окружности, вписанной в трапецию, как равный сумме \(r_1\) и \(r_4\):

\[
r = r_1 + r_4 = \frac{h \cdot r}{c} + \frac{x \cdot r}{a}
\]

Решим это уравнение относительно \(r\):

\[
r = \frac{h \cdot r}{c} + \frac{x \cdot r}{a}
\]
\[
r - \frac{h \cdot r}{c} = \frac{x \cdot r}{a}
\]
\[
\frac{rc - hr}{c} = \frac{x \cdot r}{a}
\]
\[
r \left(\frac{c - h}{c}\right) = \frac{x \cdot r}{a}
\]
\[
\frac{c - h}{c} = \frac{x}{a}
\]

Теперь мы можем найти радиус окружности:

\[
r = \frac{\frac{x}{a} \cdot a \cdot c}{c - h} = \frac{x \cdot c}{c - h}
\]

Таким образом, радиус вписанной окружности в трапецию с высотой \(h\) равен \(\frac{x \cdot c}{c - h}\).