Каков радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 18 см, и радиус окружности, описанной вокруг

Для начала, давайте определимся с некоторыми основными понятиями. Вписанная окружность в треугольник - это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Окружность, описанная вокруг треугольника - это такая окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

Давайте разберемся, как найти радиусы этих окружностей для нашего правильного треугольника со стороной 18 см.

1. Радиус вписанной окружности:
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник может быть найден с помощью следующей формулы:

\[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляя значения из задачи, мы получаем:

\[r = \frac{18}{2\sqrt{3}}\]

Теперь давайте посчитаем это:

\[r = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности для нашего правильного треугольника со стороной 18 см равен \(3\sqrt{3}\) см.

2. Радиус описанной окружности:
Радиус описанной окружности в правильном треугольнике может быть найден с помощью следующей формулы:

\[R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{3})}\]

где \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляя значения из задачи, мы получаем:

\[R = \frac{18}{2\sin(\frac{\pi}{3})}\]

Теперь давайте посчитаем это:

\[R = \frac{18}{2\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{18}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\]

Таким образом, радиус описанной окружности для нашего правильного треугольника со стороной 18 см равен \(6\sqrt{3}\) см.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!