Каков радиус окружности, вписанной в данный квадрат, если радиус окружности, описанной около квадрата, равен 56 корней

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойство окружностей, вписанных и описанных в квадратах.

Пусть \(r_1\) - радиус вписанной окружности, а \(r_2\) - радиус описанной окружности. Дано, что \(r_2 = 56 \sqrt{2}\).

Свойство 1: Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине длины стороны квадрата. То есть \(r_1 = \frac{l}{2}\), где \(l\) - длина стороны квадрата.

Свойство 2: Радиус описанной окружности в квадрат равен половине диагонали квадрата. То есть \(r_2 = \frac{d}{2}\), где \(d\) - длина диагонали квадрата.

Из этих свойств, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{l}{2} = \frac{d}{2} = 56 \sqrt{2}
\]

Для нахождения радиуса вписанной окружности, нам необходимо найти длину стороны квадрата \(l\). Для этого, нам нужно найти длину диагонали \(d\).

Из свойства пифагорова треугольника, мы знаем, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В квадрате у нас катет равен \(l\), а гипотенуза равна \(d\). То есть:

\[
d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2
\]

Используем полученное уравнение для нахождения длины диагонали:

\[
d = \sqrt{2l^2}
\]

Теперь, подставляем значение радиуса описанной окружности в полученное уравнение:

\[
56 \sqrt{2} = \sqrt{2l^2}
\]

Для удобства расчетов, заменим \(\sqrt{2}\) на \(x\):

\[
56x = \sqrt{2l^2}
\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[
(56x)^2 = ( \sqrt{2l^2} )^2
\]

Упрощаем выражение:

\[
3136x^2 = 2l^2
\]

Теперь мы получили уравнение с одной неизвестной переменной \(l\). Для решения этого уравнения, нам нужно выразить \(l\) через \(x\):

\[
l^2 = \frac{3136x^2}{2}
\]

\[
l = \sqrt{\frac{3136x^2}{2}} = \sqrt{1568x^2} = 56x\sqrt{2}
\]

Теперь, подставляем найденное значение длины стороны \(l\) в уравнение для радиуса вписанной окружности:

\[
r_1 = \frac{l}{2} = \frac{56x\sqrt{2}}{2} = 28x\sqrt{2}
\]

Итак, радиус окружности, вписанной в данный квадрат, равен \(28x\sqrt{2}\), где \(x = \sqrt{2}\). Мы уже знаем, что \(r_2 = 56\sqrt{2}\) и соответственно радиус описанной окружности равен \(56\sqrt{2}\).