Каков радиус окружности, вписанной в данный квадрат, если его диагональ равна 9√2? Чему равен диаметр окружности

Радиус окружности \( r \), вписанной в данный квадрат с диагональю \( d = 9\sqrt{2} \), можно найти, зная, что диагональ квадрата равна удвоенному радиусу окружности.

Сначала найдем радиус окружности, вписанной в данный квадрат. Для этого разделим длину диагонали на 2:
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4} \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный квадрат, равен \( \frac{9\sqrt{2}}{4} \).

Для нахождения диаметра окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника с периметром \( P = 2121 \), мы можем воспользоваться формулой, связывающей периметр правильного \(n\)-угольника с длиной его стороны \( s \):
\[ P = ns \]

В случае правильного шестиугольника \( n = 6 \), поэтому:
\[ 2121 = 6s \Rightarrow s = \frac{2121}{6} = 353.5 \]

Диаметр окружности может быть найден, зная, что он равен двойному радиусу \( r \):
\[ d = 2r = 2s = 2 \cdot 353.5 = 707 \]

Таким образом, диаметр окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника с периметром 2121, равен 707.

Длину стороны правильного восьмиугольника можно найти, зная радиус вписанной окружности \( r \) по формуле:
\[ s = 2 \cdot r \]

Таким образом, длина стороны правильного восьмиугольника равна \( 2 \cdot 2a = 4a \).

Площадь правильного восьмиугольника, описанного вокруг окружности площадью \( S \), можно найти, зная радиус описанной окружности \( R \) по формуле:
\[ S = 2 \cdot R^2 \]

Таким образом, площадь правильного восьмиугольника, описанного вокруг окружности площадью \( \frac{2}{S} \), равна \( 2 \cdot \left(\frac{2}{S}\right)^2 = \frac{8}{S^2} \).