Каков радиус окружности, проходящей через концы стороны, которая имеет наибольшую длину, а также через середину

Чтобы найти радиус окружности, проходящей через концы стороны с наибольшей длиной и через середину стороны с наименьшей длиной треугольника, мы можем воспользоваться теоремой о радиусе окружности, проведенной к стороне треугольника, перпендикулярной ей.

Итак, для начала рассмотрим треугольник со сторонами длиной 2, 3 и \(x\), где \(x\) - это длина конечной стороны треугольника, через которую должна проходить окружность.

По теореме Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с катетами 2 и \(\frac{x}{2}\) и гипотенузой \(r\), где \(r\) - это радиус окружности, выполняется следующее соотношение:

\[2^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = r^2\]

Также, так как окружность проходит через концы стороны с наибольшей длиной, мы можем рассмотреть другой прямоугольный треугольник с катетами 3 и \(\frac{x}{2}\) и гипотенузой \(r\).

И снова, по теореме Пифагора, получим:

\[3^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = r^2\]

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными - \(r^2\) и \(x\). Мы можем решить эти два уравнения методом подстановки и найти значения этих неизвестных.

Подставим значение \(r^2\) из первого уравнения во второе:

\[3^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 2^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2\]

Упростим это уравнение:

\[9 = 4 + \frac{x^2}{4}\]

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

\[5 = \frac{x^2}{4}\]

Умножим обе части уравнения на 4:

\[20 = x^2\]

Избавимся от квадрата, извлекая квадратный корень из обеих частей:

\[x = \sqrt{20}\]

Таким образом, мы нашли длину стороны треугольника, через которую должна проходить окружность - это \(\sqrt{20}\).

Теперь, найдем значение \(r^2\) подставив \(x\) в любое из исходных уравнений:

\[2^2 + \left(\frac{\sqrt{20}}{2}\right)^2 = r^2\]
\[4 + \left(\frac{20}{4}\right) = r^2\]
\[4 + 5 = r^2\]
\[9 = r^2\]

Опять же, избавимся от квадрата, извлекая квадратный корень из обеих частей:

\[r = \sqrt{9}\]
\[r = 3\]

Таким образом, радиус окружности, проходящей через концы стороны с наибольшей длиной и через середину стороны с наименьшей длиной в треугольнике со сторонами длиной 2, 3 и \(\sqrt{20}\), равен 3.