Каков радиус окружности, проходящей через две противоположные вершины прямоугольника со сторонами 4 и 6 и переднюю

Чтобы найти радиус окружности, проходящей через две противоположные вершины прямоугольника и переднюю середину бóльшей стороны, мы можем использовать свойство окружности, которое гласит, что радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен этой хорде.

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. У нас есть прямоугольник со сторонами 4 и 6, и нас интересует радиус окружности, проходящей через две противоположные вершины этого прямоугольника и переднюю середину бóльшей стороны.

Для начала, найдем переднюю середину бóльшей стороны прямоугольника. Большая сторона имеет длину 6, поэтому ее передняя середина будет находиться на расстоянии половины этой длины от одной из противоположных вершин. Значит, передняя середина будет находиться на расстоянии 6/2 = 3 от одной из вершин.

Теперь, имея расстояние до передней середины бóльшей стороны, мы можем провести радиус окружности к этой точке. Так как радиус перпендикулярен хорде (стороне прямоугольника), он будет образовывать прямоугольный треугольник с половиной стороны, равной расстоянию до передней середины.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, мы можем найти длину радиуса окружности. Пусть \(r\) - радиус, \(d\) - расстояние до передней середины бóльшей стороны, тогда применяя теорему Пифагора, получим следующее уравнение:

\[r^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2\]

Упростим это уравнение:

\[r^2 = \frac{d^2}{4} + 9\]

Чтобы найти радиус, нам нужно знать значение \(d\). Здесь мы можем использовать свойство подобных треугольников. Обратите внимание, что две меньшие стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник со сторонами 4 и 3, а сторона этого треугольника, примыкающая к большей стороне прямоугольника, имеет длину 3.

Таким образом, значение \(d\) равно 3.

Подставляя значение \(d = 3\) в уравнение \(r^2 = \frac{d^2}{4} + 9\), получим:

\[r^2 = \frac{3^2}{4} + 9\]
\[r^2 = \frac{9}{4} + 9\]
\[r^2 = \frac{9+36}{4}\]
\[r^2 = \frac{45}{4}\]

Чтобы найти радиус \(r\), возьмем квадратный корень из обеих сторон:

\[r = \sqrt{\frac{45}{4}}\]

Сокращаем дробь:

\[r = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}\]
\[r = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{2}\]
\[r = \frac{3 \sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, радиус окружности равен \(\frac{3 \sqrt{5}}{2}\).