Каков радиус окружности, полученной в результате пересечения сферы радиусом 15 см плоскостью, находящейся на расстоянии

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться свойствами пересечения сферы и плоскости.

Пусть \(O\) - центр сферы, \(M\) - точка пересечения плоскости с сферой, \(A\) - точка, смежная с \(M\) на сфере, \(B\) - проекция точки \(M\) на плоскость. Требуется найти радиус окружности, полученной в результате пересечения сферы и плоскости.

Первым шагом построим плоскость, проходящую через центр сферы и перпендикулярную заданной плоскости. Параллельно и равноудаленная от данной плоскости проходит плоскость, пересекающая сферу и создающая окружность \(O_1\) с радиусом, равным радиусу сферы. Плоскость, в которой лежит окружность \(O_1\), проходит через точку \(B\).

Рассмотрим треугольник \(OMB\). Он равнобедренный, так как \(OM\) и \(OB\) равны по условию нахождения плоскости. Значит, угол \(MOB\) равен углу \(MBO\).

Заметим, что треугольник \(MOA\) - прямоугольный, так как \(OA\) - радиус сферы, а \(AM\) - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу треугольника. Также треугольник \(MOB\) - прямоугольный, так как \(MB\) - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу треугольника.

Таким образом, треугольники \(MOA\) и \(MOB\) подобны, так как у них соответствующие углы равны. Из этого следует, что отношение соответствующих сторон треугольников равно. Обозначим радиус окружности, полученной в результате пересечения сферы и плоскости, как \(r\).

\[
\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{MO}}{{MB}}
\]

Подставим известные значения: \(OA = 15 \, \text{см}\), \(OM = 9 \, \text{см}\):

\[
\frac{{15 \, \text{см}}}{{9 \, \text{см}}} = \frac{{r}}{{MB}}
\]

Теперь найдем значением \(MB\). Треугольник \(OMB\) - прямоугольный, а также известны катеты: \(OM = 9 \, \text{см}\) и \(OB = r\).

Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[
OM^2 + OB^2 = MB^2
\]

\[
9^2 + r^2 = MB^2
\]

\[
81 + r^2 = MB^2
\]

Теперь подставим значение \(MB\):

\[
\frac{{15 \, \text{см}}}{{9 \, \text{см}}} = \frac{{r}}{{\sqrt{81 + r^2}}}
\]

Произведем упрощение:

\[
15 \cdot \sqrt{81 + r^2} = 9r
\]

Для решения данного уравнения потребуется алгебраический анализ, и оно не решается в простых формах. Можно воспользоваться численными методами или аппроксимацией для получения приближенного значения радиуса окружности \(r\).

Таким образом, радиус окружности, полученной в результате пересечения сферы радиусом 15 см плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра сферы, не может быть найден с помощью простых алгебраических операций. Необходимо использовать численные методы для получения приближенного решения.