Каков радиус окружности, описывающей правильный шестиугольник, если его периметр на 4√3 больше периметра правильного

Дано: Правильный шестиугольник со стороной \(s\) и периметром \(P_1\), правильный треугольник со стороной \(t\) и периметром \(P_2\). Из условия задачи, мы знаем, что \(P_1 = P_2 + 4\sqrt{3}\).

Решение: Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Таким образом, длина стороны каждого треугольника будет равна \(s/6\). Поскольку шестиугольник описывает окружность, радиус \(R\) этой окружности будет равен расстоянию от центра окружности до любой вершины шестиугольника.

Рассмотрим правильный треугольник, вписанный в эту окружность. Поскольку радиус окружности равен расстоянию от центра до любой вершины шестиугольника, он будет равен расстоянию от центра до середины стороны треугольника. Это расстояние равно \(t/2\).

Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половиной стороны треугольника, радиусом окружности и отрезком, соединяющим центр окружности с вершиной треугольника, мы можем записать следующее:

\[\left(\frac{t}{2}\right)^2 + R^2 = \left(\frac{s}{6}\right)^2\]

Теперь мы можем выразить сторону треугольника \(t\) через сторону шестиугольника \(s\) выполнив преобразования:

\[(t^2)/4 + R^2 = (s^2)/36\]
\[t^2 + 4R^2 = (s^2)/9\]
\[t^2 = (s^2)/9 - 4R^2\]

Заметим, что периметр правильного треугольника связан с его стороной следующим образом:

\[P_2 = 3t\]

Теперь мы можем заменить \(t\) в выражении для периметра \(P_2\):

\[P_2 = 3\left(\frac{s^2}{9} - 4R^2\right)^{1/2}\]

Нам также известно, что периметр шестиугольника \(P_1\) связан с его стороной \(s\) следующим образом:

\[P_1 = 6s\]

Из задачи мы знаем, что разница между периметрами шестиугольника и треугольника равна \(4\sqrt{3}\):

\[P_1 = P_2 + 4\sqrt{3}\]
\[6s = 3\left(\frac{s^2}{9} - 4R^2\right)^{1/2} + 4\sqrt{3}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно радиуса \(R\). Но чтобы избежать сложных числовых вычислений, давайте введем дополнительную переменную \(x = (s^2)/9\):

\[6\sqrt{x} = 3\sqrt{x - 36R^2} + 4\sqrt{3}\]

Если мы возведем это уравнение в квадрат, мы получим:

\[36x = 9x - 108R^2 + 24\sqrt{3x(x - 36R^2)} + 48x\]

Упростим это выражение:

\[108R^2 = 72\sqrt{3x(x - 36R^2)}\]

Поделим обе части на 36:

\[3R^2 = 2\sqrt{3x(x - 36R^2)}\]

Возводим в квадрат еще раз:

\[9R^4 = 12x(x - 36R^2)\]

Разрешим данное уравнение относительно \(R\):

\[12R^2x - 9R^4 = 12x^2 - 432xR^2\]
\[9R^4 - 12xR^2 + 12x^2 - 432x = 0\]

Упростим это уравнение:

\[R^4 - 4xR^2 + 4x^2 - 144x = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно \(R^2\). Решим его:

\[R^2 = \frac{-(-4x) \pm \sqrt{(-4x)^2 - 4(1)(4x^2 - 144x)}}{2(1)}\]
\[R^2 = \frac{4x \pm \sqrt{16x^2 - 16x^2 + 576x}}{2}\]
\[R^2 = \frac{4x \pm \sqrt{576x}}{2}\]
\[R^2 = 2x \pm 12\sqrt{x}\]

Так как радиус не может быть отрицательным, мы выбираем только положительные значения:

\[R^2 = 2x + 12\sqrt{x}\]

Теперь мы можем подставить обратно значение \(x = (s^2)/9\):

\[R^2 = 2\left(\frac{s^2}{9}\right) + 12\sqrt{\left(\frac{s^2}{9}\right)}\]

Упростим это выражение:

\[R^2 = \frac{2s^2}{9} + \frac{4s}{3}\]

Теперь мы можем извлечь квадратный корень из \(R^2\), чтобы получить значение \(R\):

\[R = \sqrt{\frac{2s^2}{9} + \frac{4s}{3}}\]

Таким образом, радиус окружности, описывающей правильный шестиугольник, равен \(\sqrt{\frac{2s^2}{9} + \frac{4s}{3}}\).