Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника, если один из его углов составляет 45°, а противолежащая

Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, когда известны один из его углов и противолежащая ему сторона, мы можем использовать свойство описанной окружности, которое гласит, что диаметр описанной окружности является стороной треугольника, перпендикулярной к отрезку, соединяющему вершину угла с центром окружности.

Итак, задан треугольник, у которого один из углов составляет 45°, а противолежащая этому углу сторона равна 60 см. Поскольку диаметр описанной окружности является стороной треугольника, перпендикулярной к отрезку, соединяющему вершину угла с центром окружности, мы можем найти эту сторону, используя тригонометрические соотношения.

Для этого мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника, где угол составляет 45°. Подставим известные значения в соотношение:

\[\sin(45°) = \frac{{\text{{противолежащая сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Мы знаем, что противолежащая сторона равна 60 см, поэтому данный соотношение примет вид:

\[\sin(45°) = \frac{{60}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Теперь решим уравнение относительно гипотенузы. Для этого переместим дробь на другую сторону и решим полученное уравнение:

\[\text{{гипотенуза}} = \frac{{60}}{{\sin(45°)}}\]

Выполним вычисление гипотенузы, подставив значение синуса 45°:

\[\text{{гипотенуза}} = \frac{{60}}{{\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}}} = 60 \cdot \sqrt{2} = 60\sqrt{2}\]

Так как радиус окружности равен половине диаметра, мы можем найти радиус, разделив полученное значение гипотенузы на 2:

\[\text{{радиус}} = \frac{{60\sqrt{2}}}{2} = 30\sqrt{2}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг данного треугольника, равен \(30\sqrt{2}\) см.