Каков радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник с основанием в 8 см и высотой, проходящей через

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства равнобедренных треугольников. В таком треугольнике две стороны равны между собой, а высота, проходящая через основание, делит его на два равных треугольника. Воспользуемся этими свойствами, чтобы решить задачу.

Пусть радиус вписанной окружности равен \( r \). Известно, что высота, проходящая через основание, равна \( h \).

Так как высота делит треугольник на два равных треугольника, то отрезок высоты будет являться медианой равнобедренного треугольника. Медиана равна половине основания, то есть \( \frac{1}{2} \times 8 = 4 \) см.

Теперь рассмотрим один из этих равных треугольников. Мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины боковой стороны треугольника. Для этого нам понадобятся половина основания, радиус окружности и боковая сторона (медиана):

\[ r^2 = h^2 + (\frac{1}{2})^2 \times 8^2 \]

\[ r^2 = h^2 + 16 \]

Теперь нам нужно найти высоту через основание. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для второго равного треугольника:

\[ h^2 = (8 - 2r)^2 - r^2 \]

\[ h^2 = 64 - 32r + 4r^2 - r^2 \]

\[ h^2 = 64 - 32r + 3r^2 \]

Теперь мы можем объединить два уравнения, чтобы решить задачу:

\[ r^2 = 64 - 32r + 3r^2 + 16 \]

\[ 2r^2 - 32r + 80 = 0 \]

Для решения этого квадратного уравнения мы можем воспользоваться методом дискриминанта:

Дискриминант (\( D \)):

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае:

\[ a = 2, b = -32, c = 80 \]

\[ D = (-32)^2 - 4 \times 2 \times 80 \]

\[ D = 1024 - 640 \]

\[ D = 384 \]

Теперь мы можем найти значения радиуса (\( r_1 \) и \( r_2 \)):

\[ r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \]
\[ r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ r_1 = \frac{-(-32) + \sqrt{384}}{2 \times 2} \]
\[ r_2 = \frac{-(-32) - \sqrt{384}}{2 \times 2} \]

\[ r_1 = \frac{32 + \sqrt{384}}{4} \]
\[ r_2 = \frac{32 - \sqrt{384}}{4} \]

\[ r_1 = \frac{8 + \sqrt{96}}{2} \]
\[ r_2 = \frac{8 - \sqrt{96}}{2} \]

\[ r_1 = \frac{8 + 4\sqrt{6}}{2} \]
\[ r_2 = \frac{8 - 4\sqrt{6}}{2} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности может быть представлен двумя значениями: \( \frac{8 + 4\sqrt{6}}{2} \) или \( \frac{8 - 4\sqrt{6}}{2} \). Выбирая положительное значение, получаем, что радиус окружности равен \( \frac{8 + 4\sqrt{6}}{2} \).

Окончательный ответ: Радиус окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник, равен \( \frac{8 + 4\sqrt{6}}{2} \) см.