Каков радиус окружности, которая вписана в прямоугольный четырёхугольник со сторонами длиной корень

Задача: Каков радиус окружности, которая вписана в прямоугольный четырёхугольник со сторонами длиной корень из 2 и корень из 6?

Решение:
Для начала, давайте вспомним некоторые свойства вписанных окружностей.

1. Стороны прямоугольного четырехугольника являются касательными к окружности в точках касания.
2. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны по длине.
3. Диагонали прямоугольного четырехугольника являются диаметрами вписанной окружности.

Итак, в нашей задаче, у нас есть прямоугольный четырехугольник, стороны которого равны корню из 2 и корню из 6. Предположим, что радиус вписанной окружности равен \(r\).

Теперь давайте рассмотрим диагонали прямоугольника. По свойству №3, они являются диаметрами вписанной окружности.

Длина первой диагонали равна длине одного из катетов прямоугольного треугольника, который образуется внутри прямоугольника (корень из 2). Длина второй диагонали равна длине диагонали прямоугольного четырехугольника (корень из 6).

Таким образом, имеем уравнение:
\[2r = \sqrt{2}\]
\[2r = \sqrt{6}\]

Теперь решим это уравнение в системе. Разделим второе уравнение на первое:
\[\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{2r}{\sqrt{2}}\]
\[\sqrt{3} = \sqrt{2}r\]

Делим обе стороны на \(\sqrt{2}\):
\[\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = r\]
\[\sqrt{\frac{3}{2}} = r\]

Таким образом, радиус вписанной окружности составляет \(\sqrt{\frac{3}{2}}\).