Каков радиус окружности, которая окружает прямоугольный треугольник ABC с углом С, равным 90º, и с медианой CM, равной

Чтобы найти радиус окружности, окружающей прямоугольный треугольник ABC, нам потребуется использовать свойства медианы и описанной окружности треугольника.

Первое, что нам нужно сделать, это найти длину стороны треугольника. Медиана CM является линией, соединяющей вершину прямого угла C и середину стороны AB. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, CM является также высотой треугольника.

Медиана CM делит сторону AB пополам. Из этого следует, что длина стороны AB равна \(2 \times \text{{CM}}\).

Теперь у нас есть значение длины стороны AB и мы можем найти площадь треугольника ABC. Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \times \text{{AB}} \times \text{{CM}}\).

Так как у нас уже есть значение площади треугольника, можем использовать известное свойство прямоугольных треугольников: площадь треугольника равна половине произведения катетов, где в данном случае катеты - это стороны прямоугольного треугольника.

Теперь мы можем записать уравнение для нахождения площади треугольника, используя \(S = \frac{1}{2} \times \text{{AB}} \times \text{{CM}}\) и \(S = \frac{1}{2} \times \text{{AC}} \times \text{{BC}}\). Поскольку сторона AC и сторона BC равны по определению прямоугольного треугольника, мы можем записать \(S = \frac{1}{2} \times \text{{AC}}^2\).

Теперь у нас есть два уравнения для площади треугольника:

\(\frac{1}{2} \times \text{{AB}} \times \text{{CM}} = \frac{1}{2} \times \text{{AC}}^2\)

\(\text{{AB}} = 2 \times \text{{CM}}\)

Мы можем заменить \(\text{{AB}}\) в первом уравнении на \(2 \times \text{{CM}}\):

\(\frac{1}{2} \times (2 \times \text{{CM}}) \times \text{{CM}} = \frac{1}{2} \times \text{{AC}}^2\)

\(\text{{CM}}^2 = \frac{1}{2} \times \text{{AC}}^2\)

Мы знаем, что у прямоугольного треугольника AC является гипотенузой и равно диаметру описанной окружности. Поэтому, радиус окружности, окружающей прямоугольный треугольник ABC, равен половине гипотенузы \(\text{{AC}}\).

Теперь мы можем найти радиус. Для этого возьмем квадратный корень из \(\frac{1}{2} \times \text{{AC}}^2\):

\(\text{{Радиус}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \text{{AC}}^2}\)

Используя формулу Пифагора \(\text{{AC}}^2 = \text{{AB}}^2 + \text{{BC}}^2\), где \(\text{{AB}} = 2 \times \text{{CM}}\), мы можем записать:

\(\text{{AC}}^2 = (2 \times \text{{CM}})^2 + \text{{BC}}^2\)

\(\text{{AC}}^2 = 4 \times \text{{CM}}^2 + \text{{BC}}^2\)

Мы также знаем, что \(\text{{BC}} = 2 \times \text{{CM}}\) (по определению медианы). Подставим это значение:

\(\text{{AC}}^2 = 4 \times \text{{CM}}^2 + (2 \times \text{{CM}})^2\)

\(\text{{AC}}^2 = 4 \times \text{{CM}}^2 + 4 \times \text{{CM}}^2\)

\(\text{{AC}}^2 = 8 \times \text{{CM}}^2\)

Теперь мы можем использовать найденное значение \(\text{{AC}}^2\) для нахождения значения радиуса:

\(\text{{Радиус}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 8 \times \text{{CM}}^2}\)

\(\text{{Радиус}} = \sqrt{4 \times \text{{CM}}^2}\)

\(\text{{Радиус}} = 2 \times \text{{CM}}\)

Таким образом, радиус окружности, окружающей прямоугольный треугольник ABC, равен \(2 \times 7.3 = 14.6\).