Каков радиус кривизны вогнутого сферического зеркала, если изображение предмета, находящегося на расстоянии 80

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые определения и формулы из оптики.

Радиус кривизны $R$ вогнутого сферического зеркала связан с его фокусным расстоянием $f$ следующей формулой:

$$\frac{1}{f}=\frac{2}{R}$$

Где фокусное расстояние $f$ - расстояние от зеркала до его фокуса.

Дано, что изображение предмета является действительным и в 3 раза меньше самого предмета. Это означает, что:

$$\frac{h_i}{h_o}=\frac{1}{3}$$

Где $h_i$ - высота изображения, а $h_o$ - высота предмета.

Также дано, что предмет находится на расстоянии 80 см от зеркала. Обозначим это расстояние как $d_o$.

Теперь, чтобы решить задачу, давайте разложим ее на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем фокусное расстояние
Известно, что изображение предмета является действительным и в 3 раза меньше самого предмета. Это означает, что:

$$\frac{h_i}{h_o}=\frac{1}{3}$$

Мы также знаем, что предмет находится на расстоянии 80 см от зеркала, что можно обозначить как $d_o$.

Используя формулу линзы:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_i}-\frac{1}{d_o}$$

Где $d_i$ - расстояние от зеркала до изображения.

Поскольку изображение является действительным, $d_i$ будет положительным. Таким образом, мы можем записать:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_i}-\frac{1}{d_o}$$

Подставляем значения $d_o=80$ см и $\frac{h_i}{h_o}=\frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_i}-\frac{1}{80}$$
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_i}-\frac{1}{80}$$
$$\frac{1}{f}=\frac{80-d_i}{80d_i}$$
$$80d_i=f(80-d_i)$$

Таким образом, нам нужно найти $d_i$, чтобы решить эту уравнение.

Шаг 2: Найдем $d_i$
Мы знаем, что изображение предмета является действительным и в 3 раза меньше самого предмета, то есть $\frac{h_i}{h_o}=\frac{1}{3}$.

Между тем, отношение высоты изображения к высоте предмета связано с отношением расстояний от зеркала к изображению и от зеркала к предмету:

$$\frac{h_i}{h_o}=\frac{d_i}{d_o}$$

Подставляя значения $d_o=80\text{см}$ и $\frac{h_i}{h_o}=\frac{1}{3}$, мы можем найти $d_i$:

$$\frac{1}{3}=\frac{d_i}{80}$$

Умножим обе части уравнения на 80:

$$d_i=\frac{80}{3}$$

Теперь, когда у нас есть значение $d_i$, мы можем перейти к следующему шагу.

Шаг 3: Найдем радиус кривизны $R$
Нам известно, что фокусное расстояние $f$ связано с радиусом кривизны $R$ с помощью формулы:

$$\frac{1}{f}=\frac{2}{R}$$

Мы найдем $f$ зная значение $d_i$, так что мы можем использовать эту формулу, чтобы найти $R$.

Подставляя $d_i=\frac{80}{3}$ в формулу, мы получаем:

$$\frac{1}{f}=\frac{2}{R}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{2}{R}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{2}{R}$$

Теперь, чтобы найти $R$, мы можем умножить обе части уравнения на $R$, а затем поделить на $2$:

$$R=2f$$

Подставляя значение $f$, которое мы нашли ранее, мы получаем:

$$R=2\cdot \frac{1}{d_i}$$

$$R=2\cdot \frac{1}{\frac{80}{3}}$$

$$R=2\cdot \frac{3}{80}$$

$$R=\frac{6}{80}$$

$$R=\frac{3}{40}$$

Таким образом, радиус кривизны вогнутого сферического зеркала составляет $\frac{3}{40}$ см.