Каков радиус кривизны вогнутого сферического зеркала, если изображение предмета, находящегося на расстоянии 80

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые определения и формулы из оптики.

Радиус кривизны \(R\) вогнутого сферического зеркала связан с его фокусным расстоянием \(f\) следующей формулой:

\[\frac{1}{f} = \frac{2}{R}\]

Где фокусное расстояние \(f\) - расстояние от зеркала до его фокуса.

Дано, что изображение предмета является действительным и в 3 раза меньше самого предмета. Это означает, что:

\[\frac{h_i}{h_o} = \frac{1}{3}\]

Где \(h_i\) - высота изображения, а \(h_o\) - высота предмета.

Также дано, что предмет находится на расстоянии 80 см от зеркала. Обозначим это расстояние как \(d_o\).

Теперь, чтобы решить задачу, давайте разложим ее на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем фокусное расстояние
Известно, что изображение предмета является действительным и в 3 раза меньше самого предмета. Это означает, что:

\[\frac{h_i}{h_o} = \frac{1}{3}\]

Мы также знаем, что предмет находится на расстоянии 80 см от зеркала, что можно обозначить как \(d_o\).

Используя формулу линзы:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} - \frac{1}{d_o}\]

Где \(d_i\) - расстояние от зеркала до изображения.

Поскольку изображение является действительным, \(d_i\) будет положительным. Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} - \frac{1}{d_o}\]

Подставляем значения \(d_o = 80\) см и \(\frac{h_i}{h_o} = \frac{1}{3}\):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} - \frac{1}{80}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} - \frac{1}{80}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{80 - d_i}{80d_i}\]
\[80d_i = f(80 - d_i)\]

Таким образом, нам нужно найти \(d_i\), чтобы решить эту уравнение.

Шаг 2: Найдем \(d_i\)
Мы знаем, что изображение предмета является действительным и в 3 раза меньше самого предмета, то есть \(\frac{h_i}{h_o} = \frac{1}{3}\).

Между тем, отношение высоты изображения к высоте предмета связано с отношением расстояний от зеркала к изображению и от зеркала к предмету:

\[\frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o}\]

Подставляя значения \(d_o = 80 \, \text{см}\) и \(\frac{h_i}{h_o} = \frac{1}{3}\), мы можем найти \(d_i\):

\[\frac{1}{3} = \frac{d_i}{80}\]

Умножим обе части уравнения на 80:

\[d_i = \frac{80}{3}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(d_i\), мы можем перейти к следующему шагу.

Шаг 3: Найдем радиус кривизны \(R\)
Нам известно, что фокусное расстояние \(f\) связано с радиусом кривизны \(R\) с помощью формулы:

\[\frac{1}{f} = \frac{2}{R}\]

Мы найдем \(f\) зная значение \(d_i\), так что мы можем использовать эту формулу, чтобы найти \(R\).

Подставляя \(d_i = \frac{80}{3}\) в формулу, мы получаем:

\[\frac{1}{f} = \frac{2}{R}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{2}{R}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{2}{R}\]

Теперь, чтобы найти \(R\), мы можем умножить обе части уравнения на \(R\), а затем поделить на \(2\):

\[R = 2f\]

Подставляя значение \(f\), которое мы нашли ранее, мы получаем:

\[R = 2 \cdot \frac{1}{d_i}\]

\[R = 2 \cdot \frac{1}{\frac{80}{3}}\]

\[R = 2 \cdot \frac{3}{80}\]

\[R = \frac{6}{80}\]

\[R = \frac{3}{40}\]

Таким образом, радиус кривизны вогнутого сферического зеркала составляет \(\frac{3}{40}\) см.