Каков радиус кривизны (p) траектории точки A обода в ее вершине, когда тонкий обод радиуса (r) катится

Чтобы определить радиус кривизны (p) траектории точки A обода в ее вершине, когда тонкий обод радиуса (r) катится по горизонтальной поверхности, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Рассмотрим момент, когда точка A находится в верхней точке траектории обода. В этот момент, вектор скорости точки A направлен только вниз, а значит сила тяжести будет оказывать вертикальное ускорение на эту точку.

2. Используем второй закон Ньютона, приравнивая силу тяжести (масса обода, умноженная на ускорение свободного падения) к силе, создающей центростремительное ускорение в точке A.
\[ m \cdot g = \frac{m \cdot v^2}{p} \]
где m - масса обода, g - ускорение свободного падения, v - скорость точки A.

3. Чтобы выразить скорость точки A через заданные величины, будем использовать закон сохранения энергии. Изначально, у обода есть только потенциальная энергия (от его расположения на высоте h) и кинетическая энергия. В верхней точке траектории всю потенциальную энергию превращается в кинетическую.
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]
где h - высота обода в верхней точке траектории.

4. Из уравнений (2) и (3) можно выразить скорость точки A:
\[ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \]

5. Подставляем полученное значение скорости в уравнение (1) и решаем относительно радиуса кривизны p:
\[ m \cdot g = \frac{m \cdot (2 \cdot g \cdot h)}{p} \]
\[ p = \frac{2 \cdot g \cdot h}{g} \]
\[ p = 2 \cdot h \]

Таким образом, радиус кривизны траектории точки A обода в ее вершине равен двойной высоте обода в этой точке.