Каков период дифракционной решетки, если красная линия 2-го порядка отстоит на 14,2 см от средней линии, а расстояние

Для решения этой задачи, нам нужно использовать формулу, связывающую период дифракционной решетки, расстояние между соседними максимумами интерференции и длину волны:

\[d \cdot \sin(\theta) = m \cdot \lambda\]

где:
\(d\) - период дифракционной решетки,
\(\sin(\theta)\) - синус угла дифракции,
\(m\) - порядок интерференционного максимума (в данном случае, 2-й порядок),
\(\lambda\) - длина волны.

Мы можем выразить период дифракционной решетки через данную формулу:

\[d = \frac{{m \cdot \lambda}}{{\sin(\theta)}} \label{eq:1} \tag{1}\]

Теперь давайте найдем значение угла дифракции \(\theta\). Мы знаем, что расстояние от решетки до экрана составляет 1,5 метра. Это расстояние может быть представлено следующим образом:

\[L = \sqrt{{d_{1}^{2} + h^{2}}} \label{eq:2} \tag{2}\]

где:
\(L\) - расстояние от решетки до экрана,
\(d_{1}\) - расстояние от средней линии до максимума (дано в задаче как 14,2 см, но нужно привести к метрам, поэтому \(14,2\,\text{см} = 0,142\,\text{м}\)),
\(h\) - высота экрана.

Подставим известные значения:

\[1,5\,\text{м} = \sqrt{{(d_{1} + 0,142)^{2} + h^{2}}} \label{eq:3} \tag{3}\]

Решая уравнение \(\eqref{eq:3}\), мы можем найти значение \(h\):

\[h = \sqrt{{1,5^{2} - (d_{1} + 0,142)^{2}}} \label{eq:4} \tag{4}\]

А теперь выразим синус угла дифракции через значения \(h\) и \(L\):

\[\sin(\theta) = \frac{{h}}{{L}} \label{eq:5} \tag{5}\]

Теперь мы можем подставить значения \(h\) и \(L\) в уравнение \(\eqref{eq:5}\) и вычислить синус угла дифракции \(\theta\).

Зная синус угла дифракции и порядок максимума, мы можем решить уравнение \(\eqref{eq:1}\) для нахождения периода дифракционной решетки \(d\).

Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи. Мы можем использовать ту же самую формулу \(\eqref{eq:1}\), чтобы найти длину волны красных лучей, зная период решетки \(d\) и порядок максимума \(m\) (2-й порядок):

\[\lambda = \frac{{d \cdot \sin(\theta)}}{{m}} \label{eq:6} \tag{6}\]

И наконец, ширина спектра второго порядка может быть рассчитана, используя следующую формулу:

\[W = \frac{{2 \cdot \lambda}}{{m}} \label{eq:7} \tag{7}\]

где:
\(W\) - ширина спектра 2-го порядка.

Теперь, когда у нас есть все формулы, давайте решим задачу.

Сначала найдем значение \(h\) из уравнения \(\eqref{eq:4}\):

\[h = \sqrt{{1,5^{2} - (0,142)^{2}}} \approx 1,49756\,\text{м}\]

Теперь выразим синус угла дифракции \(\theta\) из уравнения \(\eqref{eq:5}\), используя значения \(h\) и \(L\):

\[\sin(\theta) = \frac{{1,49756}}{{1,5}} \approx 0,9984\]

Теперь, используем уравнение \(\eqref{eq:1}\) для нахождения периода решетки \(d\), подставляя значения \(m = 2\), \(\lambda = ?\) и \(\sin(\theta) = 0,9984\):

\[d = \frac{{2 \cdot ?}}{{0,9984}} \label{eq:8} \tag{8}\]

Мы не знаем значение \(\lambda\) для красных лучей, поэтому мы не можем решить уравнение \(\eqref{eq:8}\) и определить период решетки \(d\) исходя из данной информации.

Что касается длины волны фиолетовых лучей (\(\lambda = 4 \times 10^{-7}\)), мы можем использовать уравнение \(\eqref{eq:6}\) для нахождения периода решетки \(d\), подставив значения \(m = 2\), \(\lambda = 4 \times 10^{-7}\) и \(\sin(\theta)\), которое мы уже нашли:

\[\lambda = \frac{{d \cdot \sin(\theta)}}{{2}}\]

\[4 \times 10^{-7} = \frac{{d \cdot 0,9984}}{{2}}\]

Решая уравнение для \(d\), мы получаем:

\[d = \frac{{4 \times 10^{-7} \times 2}}{{0,9984}} \approx 8,0112 \times 10^{-7} \,\text{м} = 801,12 \,\text{нм}\]

Таким образом, длина волны фиолетовых лучей составляет приблизительно 801,12 нм.

Когда решетка расположена на расстоянии 1,5 м от экрана и дифракционная решетка имеет период \(d \approx 8,0112 \times 10^{-7} \,\text{м}\), мы можем рассчитать ширину спектра 2-го порядка, используя уравнение \(\eqref{eq:7}\) с \(m = 2\) и \(\lambda\) равной длине волны красных лучей:

\[W = \frac{{2 \cdot \lambda}}{{m}} = \frac{{2 \cdot ?}}{{2}}\]

Приведенная информация не позволяет нам найти значение ширины спектра 2-го порядка.

Вывод: Мы определили период дифракционной решетки, если красная линия 2-го порядка отстоит на 14,2 см от средней линии, а расстояние от решетки до экрана составляет 1,5 м. Однако, нам не хватает информации, чтобы рассчитать длину волны красных лучей и ширину спектра 2-го порядка. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, предоставьте их, и я буду рад помочь вам дальше.