Каков периметр вравнобедренного треугольника авс со стороной ав, равной √2, и углом при основании 30 градусов?

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии. Давайте разберемся пошагово.

1. Определение. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны друг другу, а третья сторона называется основанием треугольника.

2. Зная, что сторона ав равна \(\sqrt{2}\), мы можем обозначить длину стороны ав как \(a\). Здесь \(a = \sqrt{2}\).

3. У нас есть угол при основании равный 30 градусам. Обозначим этот угол как \(\angle a\).

4. Так как треугольник равнобедренный, значит, у нас есть еще один угол равный 30 градусам, обозначим его как \(\angle b\).

5. Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Так как у треугольника авс имеется угол при вершине с прямой, то у нас есть угол \(\angle c\), который равен 180 градусам минус угол \(\angle a\) и минус угол \(\angle b\). В нашем случае \(\angle c = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\).

6. Теперь нам нужно найти длину боковой стороны. Для этого воспользуемся тригонометрией. Зная угол \(\angle a\) и длину стороны ав, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса: \(\sin(\angle a) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\). В нашем случае противолежащий катет равен длине боковой стороны, а гипотенуза равна длине стороны ав. Из этого равенства мы можем выразить длину боковой стороны, воспользовавшись обратной функцией синуса: \(\text{{боковая сторона}} = \sin(\angle a) \cdot \text{{сторона ав}}\).

7. Подставим значения в формулу: \(\text{{боковая сторона}} = \sin(30^\circ) \cdot \sqrt{2}\). Учитывая, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем \(\text{{боковая сторона}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

8. Теперь, чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех его сторон. Периметр вычисляется по формуле: \(\text{{периметр}} = \text{{сторона ав}} + \text{{сторона ав}} + \text{{боковая сторона}}\) (так как две стороны равны между собой).

9. Заменяем значения: \(\text{{периметр}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\).

Итак, периметр равнобедренного треугольника авс со стороной ав, равной \(\sqrt{2}\), и углом при основании 30 градусов, равен \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).