Каков периметр вравнобедренного треугольника авс со стороной ав, равной √2, и углом при основании 30 градусов?

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии. Давайте разберемся пошагово.

1. Определение. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны друг другу, а третья сторона называется основанием треугольника.

2. Зная, что сторона ав равна $\sqrt{2}$, мы можем обозначить длину стороны ав как $a$. Здесь $a=\sqrt{2}$.

3. У нас есть угол при основании равный 30 градусам. Обозначим этот угол как $\mathrm{\angle }a$.

4. Так как треугольник равнобедренный, значит, у нас есть еще один угол равный 30 градусам, обозначим его как $\mathrm{\angle }b$.

5. Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Так как у треугольника авс имеется угол при вершине с прямой, то у нас есть угол $\mathrm{\angle }c$, который равен 180 градусам минус угол $\mathrm{\angle }a$ и минус угол $\mathrm{\angle }b$. В нашем случае $\mathrm{\angle }c={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{30}^{\circ }={120}^{\circ }$.

6. Теперь нам нужно найти длину боковой стороны. Для этого воспользуемся тригонометрией. Зная угол $\mathrm{\angle }a$ и длину стороны ав, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса: $\sin (\mathrm{\angle }a)=\frac{\text{{противолежащий катет}}}{\text{{гипотенуза}}}$. В нашем случае противолежащий катет равен длине боковой стороны, а гипотенуза равна длине стороны ав. Из этого равенства мы можем выразить длину боковой стороны, воспользовавшись обратной функцией синуса: $\text{{боковая сторона}}=\sin (\mathrm{\angle }a)\cdot \text{{сторона ав}}$.

7. Подставим значения в формулу: $\text{{боковая сторона}}=\sin ({30}^{\circ })\cdot \sqrt{2}$. Учитывая, что $\sin ({30}^{\circ })=\frac{1}{2}$, получаем $\text{{боковая сторона}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

8. Теперь, чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех его сторон. Периметр вычисляется по формуле: $\text{{периметр}}=\text{{сторона ав}}+\text{{сторона ав}}+\text{{боковая сторона}}$ (так как две стороны равны между собой).

9. Заменяем значения: $\text{{периметр}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Итак, периметр равнобедренного треугольника авс со стороной ав, равной $\sqrt{2}$, и углом при основании 30 градусов, равен $\frac{5\sqrt{2}}{2}$.