Каков периметр треугольника с вершинами в координатах A(5;-5;-1), B(5;-3;-1), C(4;-3;0)? Какие косинусы углов этого

Чтобы найти периметр треугольника, необходимо вычислить длины всех его сторон и сложить их. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:
\[d = \sqrt{(x₂-x₁)^2 + (y₂-y₁)^2 + (z₂-z₁)^2}\]

Применяя эту формулу, найдем длины всех сторон треугольника AC, BC и AB:

Для стороны AC:
\[AC = \sqrt{(4-5)^2 + (-3-(-5))^2 + (0-(-1))^2}\]
\[AC = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\]

Для стороны BC:
\[BC = \sqrt{(4-5)^2 + (-3-(-3))^2 + (0-(-1))^2}\]
\[BC = \sqrt{(-1)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\]

Для стороны AB:
\[AB = \sqrt{(5-5)^2 + (-3-(-5))^2 + (-1-(-1))^2}\]
\[AB = \sqrt{(0)^2 + (2)^2 + (0)^2} = \sqrt{0 + 4 + 0} = \sqrt{4} = 2\]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, сложим длины всех его сторон:

\[Периметр = AC + BC + AB = \sqrt{6} + \sqrt{2} + 2\]

Ответ: Периметр треугольника равен \(\sqrt{6} + \sqrt{2} + 2\).

Теперь рассмотрим косинусы углов этого треугольника.

Косинус угла между двумя векторами можно вычислить с помощью формулы:
\[cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}}\]

Где \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) - это векторные разности между координатами точек треугольника.

Вычислим косинусы углов между сторонами треугольника:

Для угла между сторонами AB и AC:
\[\vec{AB} = (5-5, -3-(-5), -1-(-1)) = (0, 2, 0)\]
\[\vec{AC} = (4-5, -3-(-5), 0-(-1)) = (-1, 2, 1)\]

\[cos(\theta_{ABAC}) = \frac{{(0, 2, 0) \cdot (-1, 2, 1)}}{{2 \cdot \sqrt{6}}}\]
\[cos(\theta_{ABAC}) = \frac{{0\cdot(-1) + 2\cdot2 + 0\cdot1}}{{2 \cdot \sqrt{6}}} = \frac{{4}}{{2 \cdot \sqrt{6}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{6}}}\]

Аналогично можно вычислить косинусы углов между другими сторонами треугольника.

Ответ: Косинус угла между сторонами AB и AC равен \(\frac{{2}}{{\sqrt{6}}}\). Чтобы найти косинусы углов между другими сторонами треугольника, проделайте аналогичные вычисления.