Каков периметр треугольника с вершинами A(-1;2;3), B(2;-1;0) и C(-4;2;-3)?

Чтобы найти периметр треугольника, нам нужно найти длину каждой из его сторон и сложить их вместе. Давайте начнем с нахождения длин сторон треугольника ABC.

Для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, мы можем использовать формулу расстояния Между точками. Следуя этой формуле, мы вычислим длины сторон AB, BC и CA.

Для начала, давайте вычислим длину стороны AB. Нам понадобятся координаты точек A и B:

A(-1, 2, 3)
B(2, -1, 0)

Чтобы найти длину стороны AB, мы должны вычислить расстояние между этими двумя точками по формуле.

$$d_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$$

Где $x_A,y_A,z_A$ - координаты точки A и $x_B,y_B,z_B$ - координаты точки B.

Подставим значения координат в эту формулу и вычислим длину стороны AB:

$$d_{AB}=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(-1-2{)}^2+(0-3{)}^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{(3{)}^2+(-3{)}^2+(-3{)}^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{9+9+9}$$
$$d_{AB}=\sqrt{27}$$
$$d_{AB}=3\sqrt{3}$$

Теперь, чтобы найти длины сторон BC и CA, мы будем применять аналогичную формулу, используя координаты точек B и C, а также точек C и A соответственно.

Давайте вычислим длину стороны BC:

B(2, -1, 0)
C(-4, 2, -3)

$$d_{BC}=\sqrt{(x_C-x_B{)}^2+(y_C-y_B{)}^2+(z_C-z_B{)}^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{((-4)-2{)}^2+(2-(-1){)}^2+((-3)-0{)}^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{(-6{)}^2+(3{)}^2+(-3{)}^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{36+9+9}$$
$$d_{BC}=\sqrt{54}$$
$$d_{BC}=3\sqrt{6}$$

Теперь найдем длину стороны CA:

C(-4, 2, -3)
A(-1, 2, 3)

$$d_{CA}=\sqrt{(x_A-x_C{)}^2+(y_A-y_C{)}^2+(z_A-z_C{)}^2}$$
$$d_{CA}=\sqrt{((-1)-(-4){)}^2+(2-2{)}^2+(3-(-3){)}^2}$$
$$d_{CA}=\sqrt{(3{)}^2+(0{)}^2+(6{)}^2}$$
$$d_{CA}=\sqrt{9+0+36}$$
$$d_{CA}=\sqrt{45}$$
$$d_{CA}=3\sqrt{5}$$

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника. Чтобы найти периметр, мы сложим длины всех сторон:

Периметр треугольника ABC = $d_{AB}+d_{BC}+d_{CA}$
Учитывая вычисленные длины сторон, получаем:
Периметр треугольника ABC = $3\sqrt{3}+3\sqrt{6}+3\sqrt{5}$.

Это и есть ответ на задачу. Вы можете оставить его в таком виде или привести его к другому виду, если требуется.