Каков периметр треугольника с вершинами A(-1;2;3), B(2;-1;0) и C(-4;2;-3)?

Чтобы найти периметр треугольника, нам нужно найти длину каждой из его сторон и сложить их вместе. Давайте начнем с нахождения длин сторон треугольника ABC.

Для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, мы можем использовать формулу расстояния Между точками. Следуя этой формуле, мы вычислим длины сторон AB, BC и CA.

Для начала, давайте вычислим длину стороны AB. Нам понадобятся координаты точек A и B:

A(-1, 2, 3)
B(2, -1, 0)

Чтобы найти длину стороны AB, мы должны вычислить расстояние между этими двумя точками по формуле.

\[d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]

Где \(x_A, y_A, z_A\) - координаты точки A и \(x_B, y_B, z_B\) - координаты точки B.

Подставим значения координат в эту формулу и вычислим длину стороны AB:

\[d_{AB} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2 + (0 - 3)^2}\]
\[d_{AB} = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2}\]
\[d_{AB} = \sqrt{9 + 9 + 9}\]
\[d_{AB} = \sqrt{27}\]
\[d_{AB} = 3\sqrt{3}\]

Теперь, чтобы найти длины сторон BC и CA, мы будем применять аналогичную формулу, используя координаты точек B и C, а также точек C и A соответственно.

Давайте вычислим длину стороны BC:

B(2, -1, 0)
C(-4, 2, -3)

\[d_{BC} = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}\]
\[d_{BC} = \sqrt{((-4) - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + ((-3) - 0)^2}\]
\[d_{BC} = \sqrt{(-6)^2 + (3)^2 + (-3)^2}\]
\[d_{BC} = \sqrt{36 + 9 + 9}\]
\[d_{BC} = \sqrt{54}\]
\[d_{BC} = 3\sqrt{6}\]

Теперь найдем длину стороны CA:

C(-4, 2, -3)
A(-1, 2, 3)

\[d_{CA} = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2}\]
\[d_{CA} = \sqrt{((-1) - (-4))^2 + (2 - 2)^2 + (3 - (-3))^2}\]
\[d_{CA} = \sqrt{(3)^2 + (0)^2 + (6)^2}\]
\[d_{CA} = \sqrt{9 + 0 + 36}\]
\[d_{CA} = \sqrt{45}\]
\[d_{CA} = 3\sqrt{5}\]

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника. Чтобы найти периметр, мы сложим длины всех сторон:

Периметр треугольника ABC = \(d_{AB} + d_{BC} + d_{CA}\)
Учитывая вычисленные длины сторон, получаем:
Периметр треугольника ABC = \(3\sqrt{3} + 3\sqrt{6} + 3\sqrt{5}\).

Это и есть ответ на задачу. Вы можете оставить его в таком виде или привести его к другому виду, если требуется.