Каков периметр треугольника АВС, если его вершины имеют координаты А(7;1;-5), В(4;-3;-4) и С(1;3;-2)?

Для нахождения периметра треугольника АВС необходимо вычислить длины всех его сторон и сложить их. Для этого воспользуемся формулой для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками P1(x1, y1, z1) и P2(x2, y2, z2) выглядит следующим образом:

\[ d = \sqrt{ (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 } \]

Применим эту формулу для нахождения длин сторон треугольника. Первым делом, вычислим длину стороны АВ.

\[ d_{AB} = \sqrt{ (4 - 7)^2 + (-3 - 1)^2 + (-4 - (-5))^2 } \]
\[ d_{AB} = \sqrt{ (-3)^2 + (-4)^2 + 1^2 } \]
\[ d_{AB} = \sqrt{ 9 + 16 + 1 } \]
\[ d_{AB} = \sqrt{ 26 } \]

Теперь находим длину стороны ВС.

\[ d_{BC} = \sqrt{ (1 - 4)^2 + (3 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2 } \]
\[ d_{BC} = \sqrt{ (-3)^2 + 6^2 + 2^2 } \]
\[ d_{BC} = \sqrt{ 9 + 36 + 4 } \]
\[ d_{BC} = \sqrt{ 49 } \]
\[ d_{BC} = 7 \]

Наконец, вычисляем длину стороны СА.

\[ d_{CA} = \sqrt{ (7 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (-5 - (-2))^2 } \]
\[ d_{CA} = \sqrt{ 6^2 + (-2)^2 + (-3)^2 } \]
\[ d_{CA} = \sqrt{ 36 + 4 + 9 } \]
\[ d_{CA} = \sqrt{ 49 } \]
\[ d_{CA} = 7 \]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, сложим длины всех его сторон:

\[ P = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA} \]
\[ P = \sqrt{26} + 7 + 7 \]
\[ P = \sqrt{26} + 14 \]

Таким образом, периметр треугольника АВС равен \(\sqrt{26} + 14\).