Каков ожидаемый радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода, если он поглотил световой квант с длиной волны

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу Бальмера для определения длины волны электронной перехода в атоме водорода:

\[
\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)
\]

где:
\(\lambda\) - длина волны электронного перехода,
\(R\) - постоянная Ритберга (приближенное значение \(R = 1.097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}\)),
\(n_1\) и \(n_2\) - целые числа, обозначающие уровни энергии электронов.

В данной задаче мы знаем длину волны светового кванта \(\lambda = 121,5\) нм (нанометров). Нам также известно, что электрон поглотил световой квант, что означает, что электрон перешел с более низкого энергетического уровня на более высокий. Следовательно, начальный уровень энергии будет \(n_1 = 1\), а конечный уровень энергии \(n_2\) нам нужно найти.

Давайте подставим известные значения в формулу Бальмера и найдем \(n_2\):

\[
\frac{1}{121,5 \, \text{нм}} = 1,097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)
\]

Теперь, чтобы решить это уравнение и найти \(n_2\), мы сначала упростим его:

\[
\frac{1}{121,5 \, \text{нм}} = 1,097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1} \left(1 - \frac{1}{n_2^2} \right)
\]

Далее, домножим обе части уравнения на \(121,5 \, \text{нм}\):

\[
1 = 1,097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1} \left(121,5 \, \text{нм} - \frac{121,5 \, \text{нм}}{n_2^2} \right)
\]

Упрощая это уравнение, получим:

\[
121,5 \, \text{нм} - \frac{121,5 \, \text{нм}}{n_2^2} = \frac{1}{1,097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}}
\]

Теперь найдем обратное значение для \(\frac{1}{1,097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}}\):

\[
\frac{1}{1,097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}} = 9,112 \times 10^{-8} \, \text{м} \, \text{(округлено до пяти знаков после запятой)}
\]

Теперь мы можем записать уравнение следующим образом:

\[
121,5 \, \text{нм} - \frac{121,5 \, \text{нм}}{n_2^2} = 9,112 \times 10^{-8} \, \text{м}
\]

Чтобы найти \(n_2\), нам нужно решить это уравнение. Для этого мы выразим \(\frac{121,5 \, \text{нм}}{n_2^2}\) в левой части уравнения и получим:

\[
\frac{121,5 \, \text{нм}}{n_2^2} = 121,5 \, \text{нм} - 9,112 \times 10^{-8} \, \text{м}
\]

Теперь найдем значение для правой части уравнения:

\[
121,5 \, \text{нм} - 9,112 \times 10^{-8} \, \text{м} = 121,5 \times 10^{-9} \, \text{м} - 9,112 \times 10^{-8} \, \text{м} = 1,204 \times 10^{-7} \, \text{м}
\]

Теперь мы можем записать уравнение следующим образом:

\[
\frac{121,5 \, \text{нм}}{n_2^2} = 1,204 \times 10^{-7} \, \text{м}
\]

Чтобы найти \(n_2\), мы возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
\left(\frac{121,5 \, \text{нм}}{n_2^2}\right)^2 = (1,204 \times 10^{-7} \, \text{м})^2
\]

Раскрывая скобки и решая это уравнение, получим:

\[
\frac{121,5^2 \, \text{нм}^2}{n_2^4} = (1,204 \times 10^{-7})^2 \, \text{м}^2
\]

Теперь выразим \(n_2^4\) в левой части уравнения и найдем значение:

\[
n_2^4 = \frac{121,5^2 \, \text{нм}^2}{(1,204 \times 10^{-7})^2 \, \text{м}^2} = \frac{14762,25 \, \text{нм}^2}{1,449616 \times 10^{-14} \, \text{м}^2} \approx 1,0181 \times 10^{19}
\]

Теперь возьмем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

\[
\sqrt[4]{n_2^4} = \sqrt[4]{1,0181 \times 10^{19}}
\]

Решим этот кубический корень, получим:

\[
n_2 \approx 6,349
\]

Таким образом, ожидаемое значение радиуса электронной орбиты возбужденного атома водорода будет связано с \(n_2\) и может быть оценено по формуле:

\[
r = \frac{{0,529 \times n^2}}{{Z}}
\]

где \(Z\) - заряд ядра атома (для водорода \(Z = 1\)).

\[
r = \frac{{0,529 \times 6,349^2}}{{1}}
\]

\[
r \approx 21,81 \, \text{пикометра (пм)}
\]

Итак, ожидаемый радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода, если он поглотил световой квант с длиной волны 121,5 нм, будет приближенно равен 21,81 пикометра.