Какова напряженность поля в точках, расположенных на биссектрисе угла пересечения двух бесконечных плоскостей под углом

Для решения данной задачи нам следует использовать закон Кулона, который описывает взаимодействие между заряженными объектами. Формула для расчета напряженности электрического поля \(E\) в точке на биссектрисе угла между двумя плоскостями будет следующей:

\[E = \frac{{k \cdot |\sigma_1 - \sigma_2|}}{{d}}\]

Где:
\(k\) - постоянная Кулона, примерное значение равно \(8.99 \times 10^9 \, Н \cdot м^2/Кл^2\).
\(\sigma_1\) и \(\sigma_2\) - плотности заряда на плоскостях.
\(d\) - расстояние от точки до каждой из плоскостей.

Исходя из условия задачи, плотность заряда на первой плоскости равна \(10 \, мкКл/м^2\) (положительная), а на второй плоскости \(-10 \, мкКл/м^2\) (отрицательная). Чтобы учесть знак плотности заряда, мы вычитаем \(\sigma_2\) из \(\sigma_1\) в выражении для напряженности поля.

Расстояние \(d\) от точки до каждой из плоскостей на биссектрисе угла равно:

\[d = \frac{{d_1 + d_2}}{2}\]

Где \(d_1\) и \(d_2\) - расстояния от точки до первой и второй плоскостей соответственно.

Теперь, зная все необходимые формулы, мы можем вычислить напряженность поля в точках на биссектрисе угла.

Пусть первая плоскость находится в положительном полупространстве, а вторая плоскость - в отрицательном полупространстве.

1. Расстояние \(d_1\) от точки до первой плоскости:
\[d_1 = \frac{{d}}{{\cos(\frac{\alpha}{2})}}\]
\[d_1 = \frac{{d}}{{\cos(60)}}\]
\[d_1 = \frac{{d}}{{0.5}} = 2d\]

2. Расстояние \(d_2\) от точки до второй плоскости:
\[d_2 = \frac{{d}}{{\sin(\frac{\alpha}{2})}}\]
\[d_2 = \frac{{d}}{{\sin(60)}}\]
\[d_2 = \frac{{d}}{{\sqrt{3}/2}} = \frac{{2d}}{{\sqrt{3}}}\]

3. Расстояние \(d\) от точки до каждой из плоскостей (\(d_1 + d_2 = d\)):
\[d = 2d + \frac{{2d}}{{\sqrt{3}}}\]
\[\frac{{\sqrt{3}}d}{\sqrt{3}} = \frac{{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{3}}d = \frac{{2\sqrt{3} + 3}}{3}d\]

Теперь мы можем подставить найденное значение расстояния в формулу для напряженности поля:

\[E = \frac{{k \cdot |\sigma_1 - \sigma_2|}}{{d}}\]
\[E = \frac{{8.99 \times 10^9 \cdot |10 \times 10^{-6} - (-10 \times 10^{-6})|}}{{\frac{{2\sqrt{3} + 3}}{3}d}}\]

Сократив расстояние \(d\) в числителе и знаменателе, а также упростив модуль разности плотностей заряда, мы получим окончательное выражение для напряженности поля:

\[E = \frac{{8.99 \times 10^9 \cdot 20 \times 10^{-6}}}{{\frac{{2\sqrt{3} + 3}}{3}d}}\]

Таким образом, напряженность поля в точках, расположенных на биссектрисе угла пересечения двух бесконечных плоскостей, будет равна \(\frac{{8.99 \times 10^9 \cdot 20 \times 10^{-6}}}{{\frac{{2\sqrt{3} + 3}}{3}d}}\), где \(d\) - расстояние от точки до каждой из плоскостей.