Каков орбитальный период спутника Ио, если расстояние от Юпитера до него больше расстояния между Землёй и Луной на 10%?

Для решения данной задачи нам необходимо знать, как связан период орбиты со спутником с его радиусом орбиты и массой планеты-гравитационного центра. Давайте разберемся подробнее.

Период орбиты спутника описывается законом Кеплера, который гласит: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} \), где \( T \) - период орбиты спутника, \( R \) - радиус орбиты спутника, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты.

Дано, что расстояние от Юпитера до спутника Ио больше расстояния между Землей и Луной на 10%. Пусть расстояние между Землей и Луной составляет \( d \) километров. Тогда расстояние от Юпитера до Ио составляет \( d + 0.1d \) километров.

Нам нужно найти орбитальный период спутника Ио. Для этого нужно узнать радиус орбиты \( R \) и массу Юпитера \( M \).

Радиус орбиты спутника Ио: \( R = d + 0.1d = 1.1d \) километров.

Теперь мы должны найти массу планеты-гравитационного центра, в данном случае - Юпитера. Для этого обратимся к физическим данным.

Масса Земли: \( M_З = 5.972 \cdot 10^{24} \) кг.
Масса Луны: \( M_Л = 7.342 \cdot 10^{22} \) кг.

Теперь, когда у нас есть масса Земли и Луны, мы можем вычислить массу Юпитера, принимая во внимание, что расстояние от Земли до Луны составляет примерно 384 400 километров.

Масса Юпитера: \( M = \frac{{M_Л \cdot d^2}}{{(384400)^2}} \) кг.

Теперь у нас есть все параметры, необходимые для вычисления периода орбиты спутника Ио. Подставим значения в формулу периода:

\[
T = 2\pi\sqrt{\frac{(1.1d)^3}{G \cdot M}}
\]

У нас не предоставлена точная информация о значении гравитационной постоянной \( G \), поэтому воспользуемся приближенным значением \( G = 6.67430 \cdot 10^{-11} \) м\(^3 \cdot\) кг\(^{-1} \cdot\) с\(^{-2} \).

Теперь мы можем с помощью калькулятора найти значение периода орбиты спутника Ио. Подставляя значения, получим ответ.

Например, если расстояние между Землей и Луной равно 384 400 км, то:

\[
T = 2\pi\sqrt{\frac{(1.1 \cdot 384400)^3}{6.67430 \cdot 10^{-11} \cdot \left(\frac{{7.342 \cdot 10^{22} \cdot 384400^2}}{{(384400)^2}}\right)}}
\]

\[
T \approx 152072 \text{ секунды}
\]

\[
T \approx 42.24 \text{ часа}
\]

Таким образом, орбитальный период спутника Ио примерно равен 42.24 часа.