Каков объем усеченной правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 3м, а стороны основания равны

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знать формулу для вычисления объема усеченной пирамиды. Объем такой пирамиды можно вычислить по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( h \) - высота пирамиды, \( S_1 \) и \( S_2 \) - площади оснований пирамиды.

Для начала, найдем площади оснований пирамиды. У нас есть информация, что стороны основания равны 5 метров. Так как базы у нас две, нам нужно вычислить площадь каждого основания, а затем сложить их. В данном случае, основаниями являются равносторонние треугольники. Площадь каждого треугольника можно вычислить по следующей формуле:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Таким образом, площадь каждого основания пирамиды будет:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \]

Теперь мы можем перейти к вычислению объема пирамиды, используя найденные ранее значения. У нас уже есть площади оснований (\( S_1 \) и \( S_2 \)), а также известно, что боковое ребро равно 3 метра. Осталось найти только высоту пирамиды (\( h \)).

Чтобы найти высоту пирамиды, можно воспользоваться теоремой Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, образованному высотой пирамиды, боковым ребром и радиус-вектором вершины пирамиды, проведенным до основания пирамиды.

В данном случае, высота пирамиды равна:
\[ h = \sqrt{3^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4} - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \]

Теперь, используя найденные значения, мы можем вычислить объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{11}}{2} \times \left( \frac{25\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{25\sqrt{3}}{4} \times \frac{11\sqrt{3}}{4}} + \frac{25\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{\sqrt{11}}{6} \times \left( \frac{25\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{825}{16}} + \frac{25\sqrt{3}}{4}\right) \]

Теперь остается просто посчитать эту формулу и получить ответ, который будет объемом усеченной правильной четырехугольной пирамиды.

\[ V \approx 14.47 \, \text{м}^3 \]

Итак, объем усеченной правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром 3 метра и сторонами основания 5 метров, составляет около 14.47 кубических метров.