Каков объем треугольной пирамиды, у которой высота равна 4 см, а угол между боковой гранью и плоскостью основания

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times S \times h,\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Сначала необходимо найти площадь основания пирамиды. Поскольку в данной задаче основание является треугольником, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta),\]

где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, \(\theta\) - угол между этими сторонами.

У нас нет информации о сторонах треугольника, но у нас есть угол между боковой гранью (которая является треугольником) и плоскостью основания пирамиды. Дан угол \(\theta = 30^\circ\).

Для удобства введем символы \(a\) и \(b\) для сторон треугольника, которые мы не знаем. Заметим, что угол \(\theta\) противоположен стороне \(a\). Теперь мы можем использовать формулу синуса:

\[\sin(\theta) = \frac{a}{c},\]

где \(c\) - сторона треугольника противоположная углу \(\theta\).

Мы знаем высоту пирамиды равную 4 см. Теперь обратимся к пирамиде и проведем высоту \(h\) до основания пирамиды. Обозначим точку пересечения высоты с плоскостью основания пирамиды как точку \(M\). Тогда у нас получается прямоугольный треугольник \(MAD\), где сторона \(AD\) является высотой, равной 4 см, и угол \(\angle MAD\) является углом между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды и равен 30°. Мы будем использовать этот треугольник для нахождения стороны \(a\). Для формулы синуса можно записать:

\[\sin(30^\circ) = \frac{a}{4},\]

а отсюда можно найти значение стороны \(a\):

\[a = 4 \times \sin(30^\circ).\]

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника, чтобы найти площадь основания пирамиды \(S\). Поскольку \(\theta\) равен \(30^\circ\) и \(a = 4 \times \sin(30^\circ)\), мы можем записать:

\[S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta) = \frac{1}{2} \times 4 \times \sin(30^\circ) \times b.\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания пирамиды, мы можем найти ее объем \(V\). Подставим известные значения в формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 4 \times \sin(30^\circ) \times b \times 4.\]

Сокращаем и вычисляем формулу:

\[V = \frac{2}{3} \times \sin(30^\circ) \times b \times 4.\]

Таким образом, объем треугольной пирамиды составляет \(\frac{8}{3} \times \sin(30^\circ) \times b\) кубических сантиметров.