Каков объем тела, которое получается при вращении треугольника ABC вокруг оси ординат, если в системе координат заданы

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси. В данном случае, фигурой является треугольник ABC, а осью вращения выберем ось ординат.

Шаг 1: Найдем длину стороны треугольника AB. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[ d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Где \( x_A \) и \( y_A \) - координаты точки A, \( x_B \) и \( y_B \) - координаты точки B.

Подставляя значения, получаем:

\[ d_{AB} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3.8 - 3.8)^2} = \sqrt{2^2} = 2 \]

Шаг 2: Теперь найдем площадь треугольника ABC. Можно воспользоваться формулой площади треугольника через длины его сторон, но так как мы уже знаем длину стороны AB, то воспользуемся формулой площади треугольника по половине произведения стороны на высоту:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot d_{AB} \cdot h \]

Где \( h \) - высота треугольника, проходящая к оси ординат.

Шаг 3: Чтобы найти высоту треугольника, построим прямую, проходящую через точки B и C, и найдем координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат. По координатам точки пересечения можно будет найти высоту треугольника.

Уравнение прямой, проходящей через точки B и C, можно записать в виде:

\[ y = k \cdot x + b \]

Где \( k \) - угловой коэффициент прямой, \( b \) - свободный член.

Найдем угловой коэффициент прямой:

\[ k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{15.8 - 3.8}{2 - 4} = \frac{12}{-2} = -6 \]

Теперь найдем свободный член:

\[ b = y_B - k \cdot x_B = 3.8 - (-6) \cdot 4 = 3.8 + 24 = 27.8 \]

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид:

\[ y = -6x + 27.8 \]

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с осью ординат. Когда точка лежит на оси ординат, ее координата по оси абсцисс равна нулю, поэтому подставим \( x = 0 \) в уравнение прямой:

\[ y = -6 \cdot 0 + 27.8 = 27.8 \]

Таким образом, получаем, что точка пересечения прямой с осью ординат имеет координаты (0, 27.8).

Шаг 4: Теперь, когда у нас есть высота треугольника (равная расстоянию от оси ординат до вершины треугольника), можем вычислить его площадь S_{ABC}:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 27.8 = 27.8 \]

Шаг 5: Наконец, для того чтобы найти объем тела, образованного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, мы должны умножить площадь треугольника на \( 2π \) (число π умноженное на коэффициент 2, так как мы вращаем всю фигуру):

\[ V = 2π \cdot S_{ABC} = 2π \cdot 27.8 \approx 174.91 \]

Таким образом, объем тела, которое получается при вращении треугольника ABC вокруг оси ординат, составляет примерно 174.91 единицы объема.