Каков объем шарового слоя, если радиусы его оснований составляют 3 и 4 см, а радиус шара равен 5 см, при условии

Чтобы вычислить объем шарового слоя, нам понадобятся знания о формуле для объема шара и объема сферического слоя.

Объем шара определяется формулой:

\[
V_{\text{{шара}}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\]

где \( r \) - радиус шара.

Объем сферического слоя определяется формулой:

\[
V_{\text{{слоя}}} = \frac{1}{3} \pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)
\]

где \( h \) - высота слоя, \( r_1 \) и \( r_2 \) - радиусы оснований слоя.

Для начала найдем высоту слоя. В данной задаче, мы знаем радиусы оснований - 3 см и 4 см, а также радиус шара - 5 см. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты слоя.

По теореме Пифагора:

\[
h^2 = (r_2 - r_1)^2 + r^2
\]

Подставляем известные значения:

\[
h^2 = (4 \, \text{{см}} - 3 \, \text{{см}})^2 + 5 \, \text{{см}}^2
\]

\[
h^2 = 1 \, \text{{см}}^2 + 25 \, \text{{см}}^2
\]

\[
h^2 = 26 \, \text{{см}}^2
\]

Теперь найдем объем сферического слоя:

\[
V_{\text{{слоя}}} = \frac{1}{3} \pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)
\]

Подставляем известные значения:

\[
V_{\text{{слоя}}} = \frac{1}{3} \pi \cdot \sqrt{26 \, \text{{см}}^2} \cdot (3 \cdot (3 \, \text{{см}})^2 + 3 \cdot (4 \, \text{{см}})^2 + (26 \, \text{{см}}^2))
\]

\[
V_{\text{{слоя}}} = \frac{1}{3} \pi \cdot \sqrt{26} \cdot (3 \cdot 9 + 3 \cdot 16 + 26)
\]

\[
V_{\text{{слоя}}} = \frac{1}{3} \pi \cdot \sqrt{26} \cdot (27 + 48 + 26)
\]

\[
V_{\text{{слоя}}} = \frac{1}{3} \pi \cdot \sqrt{26} \cdot 101
\]

Нет нужды упрощать дальше. Таким образом, объем шарового слоя равен \( \frac{1}{3} \pi \cdot \sqrt{26} \cdot 101 \) или около 418.37 см³ (или приблизительно 418 см³, с точностью до десятых).