Каков объем шара, который вписан в конус с радиусом основания r и углом между образующей и высотой

Для начала, давайте разберемся в том, что такое вписанный шар и конус. Шар вписан в конус, если его центр находится на оси конуса, а его поверхность касается всех сторон конуса.

Вы хотите узнать объем шара, который вписан в конус. Обозначим данный объем как \(V\) и радиус основания конуса как \(r\).

Для решения задачи, мы можем воспользоваться формулой для объема шара и формулой для объема конуса, а также свойством подобия между шаром и конусом с центром на оси.

Давайте начнем с формулы для объема шара \(V_s = \frac{4}{3}\pi r_s^3\), где \(r_s\) - радиус шара.

Также нам понадобится формула объема конуса \(V_c = \frac{1}{3}\pi r_c^2 h_c\), где \(r_c\) - радиус основания конуса, \(h_c\) - высота конуса, \(V_c\) - объем конуса.

Известно, что радиус шара \(r_s\) является радиусом вписанного шара, а высота конуса \(h_c\) является образующей конуса.

Для того, чтобы найти объем шара, который вписан в конус, нужно найти радиус шара.

Из свойства подобия между шаром и конусом, можем записать: \(\frac{r_s}{r_c} = \frac{r_s}{h_c}\).

Теперь, можем получить значение \(r_s\) (радиус вписанного шара) из данного соотношения: \(r_s = \frac{r_c}{h_c} r_s\).

Подставим полученное значение \(r_s\) в формулу для объема шара: \(V_s = \frac{4}{3}\pi r_s^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{r_c}{h_c} r_s)^3\).

Сократим выражение и получим окончательную формулу для объема шара, который вписан в конус: \(V = \frac{4}{3}\pi (\frac{r_c}{h_c})^3 r_s^3\).

Теперь вы можете использовать данную формулу, чтобы найти объем шара, который вписан в конус, зная значения \(r_c\) (радиус основания конуса) и \(h_c\) (высота конуса).

Мы дали максимально подробный ответ с обоснованием каждого шага. Надеюсь, данный ответ поможет вам понять, как найти объем шара, который вписан в конус. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.