Каков объем прямой треугольной призмы, если плоскость, проходящая через ребро нижнего основания длиной 3 см и вершину

Для начала давайте разберемся с основными понятиями и формулами, которые нам понадобятся для решения этой задачи.

Прямая треугольная призма - это геометрическое тело, у которого две пары параллельных граней, являющихся треугольниками, и три грани, являющиеся прямоугольниками.

Объем прямой треугольной призмы (обозначим его V) можно найти по формуле:

\[V = S \cdot h\]

где S - площадь основания призмы, а h - высота призмы.

В нашей задаче площадь основания известна, она равна 3 см.

Теперь перейдем к нахождению высоты призмы. Для этого нам нужно знать угол, образованный плоскостью и нижним основанием призмы.

По определению, прямая треугольная призма - это призма с прямыми углами между боковыми гранями и основанием. Таким образом, угол между плоскостью и нижним основанием равен 90 градусов.

Теперь нам нужно найти высоту призмы (h), используя три стороны треугольника: 3, 4 и 5 см. Можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольников:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где c - гипотенуза треугольника, a и b - катеты.

В нашем случае сторонами треугольника являются 3, 4 и 5 см. Давайте найдем гипотенузу:

\[5^2 = 3^2 + 4^2\]
\[25 = 9 + 16\]
\[25 = 25\]

Таким образом, треугольник является прямоугольным.

В качестве гипотенузы используем сторону длиной 5 см, а в качестве катетов - стороны длиной 3 и 4 см.

Теперь можем приступить к нахождению высоты призмы.

С помощью теоремы Пифагора найдем высоту призмы (h):

\[h^2 = 5^2 - 3^2\]
\[h^2 = 25 - 9\]
\[h^2 = 16\]
\[h = \sqrt{16} = 4\]

Таким образом, высота призмы равна 4 см.

Теперь можем найти объем призмы, подставив известные значения в формулу:

\[V = S \cdot h = 3 \cdot 4 = 12\]

Ответ: объем прямой треугольной призмы равен 12 кубическим сантиметрам.