Каков объем прямой призмы abca1b1c1, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник

Чтобы найти объем прямой призмы \(abca_1b_1c_1\), нам нужно умножить площадь основания на высоту.

Основание призмы - равнобедренный прямоугольный треугольник \(abc\) с гипотенузой \(ab = 2\sqrt{2}\).

Чтобы найти площадь основания, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту}\]

Так как треугольник \(abc\) равнобедренный, у него две равные стороны \(ac\) и \(bc\), и угол между ними равен 90 градусов.

Поскольку гипотенуза \(ab = 2\sqrt{2}\), равные стороны \(ac\) и \(bc\) будут равны \(2\).

Теперь, чтобы найти высоту \(h\) треугольника \(abc\), воспользуемся теоремой Пифагора:
\[h^2 = ab^2 - ac^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2^2\]
\[h^2 = 8 - 4 = 4\]
\[h = 2\]

Таким образом, площадь основания:
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\]

Теперь нам нужно найти высоту призмы, которая будет равна расстоянию между плоскостями \(abc\) и \(abc_1\). Из условия задачи известно, что угол между этими плоскостями составляет 45 градусов.

Высоту \(H\) можно найти, используя следующее равенство:
\[H = S_{\text{основания}} \times \sin(45^\circ)\]

Подставляя значения, получаем:
\[H = 2 \times \sin(45^\circ)\]

Используя тригонометрическую формулу \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:
\[H = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

Теперь мы можем найти объем прямой призмы:
\[V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \times H\]
\[V_{\text{призмы}} = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, объем прямой призмы \(abca_1b_1c_1\) равен \(2\sqrt{2}\).