Каков объем прямоугольного параллелепипеда, у которого в основании лежит квадрат, а высота равна 7 корней из 2

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, у которого в основании лежит квадрат, а высота равна 7 корней из 2 дм, мы должны использовать формулу для объема такого параллелепипеда, которая выглядит следующим образом:

\[V = S \cdot h\]

Где \(V\) - объем, \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота.

Для начала нам нужно найти площадь основания. Поскольку основание является квадратом, мы можем воспользоваться формулой для площади квадрата:

\[S = a \cdot a\]

Где \(a\) - длина стороны квадрата.

Теперь разберемся с площадью диагонального сечения. Поскольку сечение образует диагональ прямоугольника, мы можем воспользоваться формулой для площади прямоугольника:

\[S_{\text{{сечения}}} = a \cdot b\]

Где \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.

Обратимся к формуле объема параллелепипеда:

\[V = S \cdot h\]

По условию, площадь диагонального сечения составляет 56 дм², поэтому мы можем записать уравнение:

\[56 = a \cdot b\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[S = a \cdot a\]
\[56 = a \cdot b\]

Мы можем решить систему уравнений методом подстановки или методом исключения переменной. Давайте воспользуемся методом исключения переменной.

Сначала решим первое уравнение относительно \(a\):
\[a = \sqrt{S}\]

Подставляем это значение во второе уравнение и решаем его относительно \(b\):

\[56 = \sqrt{S} \cdot b\]
\[b = \frac{56}{\sqrt{S}}\]

Теперь мы можем посчитать объём:

\[V = S \cdot h = a \cdot a \cdot h = (\sqrt{S})^2 \cdot h = S \cdot h\]

Расставим все известные значения:

\[V = 56 \cdot 7 \cdot \sqrt{2}\]

Итак, объем прямоугольного параллелепипеда, у которого в основании лежит квадрат, высота равна 7 корням из 2 дм, а площадь диагонального сечения составляет 56 дм², равен \(56 \cdot 7 \cdot \sqrt{2}\) дм³.