Каков объем прямоугольного параллелепипеда АВСDKLMN с основаниями АВ и ВС, стороны которых равны соответственно 3

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно умножить длину одного из его оснований на длину прямоугольника, соединяющего эти основания, на высоту параллелепипеда. Давайте разберем эту задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем высоту параллелепипеда.
По условию известно, что диагональ KC образует угол в 45 градусов с плоскостью основания. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник KAC, в котором угол АКС равен 45 градусов, а стороны АК и СК известны.
Используя тригонометрический закон синусов, мы можем найти длину стороны АС. Поскольку диагональ АК является гипотенузой треугольника, получаем:

\[\sin 45° = \frac{AC}{AK}\]
\[AC = AK \cdot \sin 45°\]

Здесь AK равно длине стороны ВС, которая равна 4 см. Подставляя значения, получаем:

\[AC = 4 \cdot \sin 45°\]

Шаг 2: Найдем площадь основания прямоугольного параллелепипеда.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. По условию, стороны основания равны 3 см и 4 см, поэтому площадь основания равна:

\[Площадь_{основания} = 3 \cdot 4\]

Шаг 3: Найдем объем прямоугольного параллелепипеда.
Объем параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту:

\[Объем = Площадь_{основания} \cdot AC\]

Шаг 4: Подставим значения и рассчитаем объем.
Подставляем значения:

\[Объем = 3 \cdot 4 \cdot (4 \cdot \sin 45°)\]

\(\sin 45°\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:

\[Объем = 3 \cdot 4 \cdot (4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\]

Упрощаем выражение:

\[Объем = 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[Объем = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Наконец, умножим и упростим:

\[Объем = 12 \cdot \sqrt{2}\]

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда АВСDKLMN равен \(12 \cdot \sqrt{2}\) кубических сантиметров.