Каков объем правильной треугольной призмы, у которой сторона основания равна 18 см и диагональ боковой грани образует

Чтобы найти объем правильной треугольной призмы, нам понадобится знать площадь основания и высоту призмы.

1. Начнем с вычисления площади основания. У нас есть правильный треугольник, у которого сторона равна 18 см. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: \[Пл = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\], где \(Пл\) - площадь, а \(a\) - сторона треугольника.

Подставим значения в формулу: \[Пл = \frac{{18^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Сократим числитель: \[Пл = \frac{{324 \sqrt{3}}}{4}\]

Далее, сократим дробь на 4: \[Пл = 81 \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь основания равна \(81 \sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

2. Теперь нам нужно найти высоту призмы. Диагональ боковой грани образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Мы знаем, что в треугольнике угол между основанием и диагональю равен 90 градусам. Таким образом, угол между плоскостью основания и диагональю (или высотой призмы) будет составлять 45 градусов.

Выразим высоту призмы через сторону основания и угол: \[h = a \sin(\alpha)\], где \(h\) - высота, \(a\) - сторона основания, \(\alpha\) - угол между плоскостью основания и диагональю.

Подставим значения: \[h = 18 \cdot \sin(45^\circ)\]

Вычислим синус 45 градусов: \[h = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \sqrt{2}\]

Таким образом, высота призмы равна \(9 \sqrt{2}\) сантиметров.

3. Наконец, чтобы найти объем призмы, умножим площадь основания на высоту: \[V = Пл \cdot h\]

Подставим значения: \[V = (81 \sqrt{3}) \cdot (9 \sqrt{2})\]

Умножим числа: \[V = 729 \sqrt{6}\]

Итак, объем правильной треугольной призмы равен \(729 \sqrt{6}\) кубических сантиметров.