Каков объём правильной треугольной призмы, у которой боковая поверхность является прямоугольником со сторонами 15см

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знать формулу для объёма призмы. Объём \( V \) правильной треугольной призмы можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{2} \cdot A \cdot h \cdot l \]

где \( A \) - площадь основания, \( h \) - высота боковой грани, \( l \) - длина бокового ребра.

В нашей задаче боковая поверхность призмы является прямоугольником со сторонами 15 см и 12 см, т.е. её площадь равна:

\[ A = 15 \, \text{см} \times 12 \, \text{см} = 180 \, \text{см}^2 \]

Для того чтобы найти высоту \( h \), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной призмы, высотой и диагональю прямоугольника. В этом треугольнике длина гипотенузы равна длине бокового ребра призмы, а катеты - это высота и половина одной из сторон прямоугольника.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого следует, что:

\[ h^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2 = l^2 \]

Теперь решим это уравнение относительно \( h \). Подставляя известные значения, получаем:

\[ h^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2 = 12^2 \]

\[ h^2 + \frac{225}{4} = 144 \]

\[ h^2 = 144 - \frac{225}{4} \]

\[ h^2 = \frac{576}{4} - \frac{225}{4} \]

\[ h^2 = \frac{576 - 225}{4} \]

\[ h^2 = \frac{351}{4} \]

\[ h = \sqrt{\frac{351}{4}} \]

\[ h = \frac{\sqrt{351}}{\sqrt{4}} \]

\[ h = \frac{\sqrt{351}}{2} \]

Таким образом, мы нашли значение высоты \( h \). Теперь мы можем найти объём призмы, подставив известные значения в формулу:

\[ V = \frac{1}{2} \cdot 180 \, \text{см}^2 \cdot \frac{\sqrt{351}}{2} \, \text{см} \]

\[ V = 90 \, \text{см}^2 \cdot \frac{\sqrt{351}}{2} \, \text{см} \]

\[ V = 45 \sqrt{351} \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объём правильной треугольной призмы с боковой поверхностью, являющейся прямоугольником со сторонами 15 см и 12 см, равен \( 45 \sqrt{351} \, \text{см}^3 \).