Каков объем пирамиды SABC, если высота SH падает на середину стороны AB, а треугольник ABC является правильным с длиной

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1) Возьмем треугольник ABC и нарисуем его:
А_______В
|\
|_\
C

2) Так как треугольник ABC является правильным треугольником со стороной длиной 6, все его стороны равны 6.

3) Так как треугольник ABC является правильным треугольником, высота, опущенная из вершины A на сторону BC, будет делить эту сторону пополам. Обозначим точку, в которой высота пересекает сторону BC, как точку H.

А_______В
|\ |
| \ |
| \ |
| \ |
| \|
C__H__

4) Теперь у нас есть два полученных прямоугольных треугольника SHC и SHA.

5) Мы знаем, что сторона треугольника ABC равна 6, поэтому сторона треугольника SHC также будет равна 6.

6) Так как высота SH делит сторону AB пополам, сторона треугольника SHA будет равна половине стороны ABC, то есть 6/2 = 3.

7) Теперь мы можем найти площадь треугольника SHA. Площадь прямоугольного треугольника SHA равна половине произведения его катетов. Мы знаем, что один из его катетов равен 3, а гипотенуза равна 6 (потому что это сторона треугольника ABC). Подставим значения в формулу:

Площадь SHA = (1/2) * (3) * (6) = 9

8) Площадь прямоугольного треугольника SHC также будет равна 9, так как его катеты равны 6 и 3.

9) Теперь мы можем найти площадь пирамиды SABC. Площадь пирамиды равна площади ее основания, умноженной на треть высоты пирамиды. Основание пирамиды - это треугольник ABC, площадь которого равна 9 (мы уже нашли ее) и высота пирамиды - это отрезок SH.

10) Так как треугольник SHC является прямоугольным треугольником со сторонами 6 и 3, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка SH:

SH = \(\sqrt{(6^2 - 3^2)} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}\)

11) Подставим значения в формулу для площади пирамиды:

Площадь пирамиды SABC = (9) * (1/3) * (3 \(\sqrt{3}\)) = 3 \(\sqrt{3}\)

Таким образом, объем пирамиды SABC равен 3 \(\sqrt{3}\).